本文共分为三章.第一章回顾所研究问题的历史背景与发展现状.第二章给出本文所需的预备知识,并简要陈述本文的主要工作.第三章讨论离散的薛定谔方程的呼吸子的存在性.　　我们在无穷的m维网格上考虑离散的非线性薛定谔方程iψn+(Aψ)n-unψn+σfn(ψn)=0,在饱和非线性条件下的具有特定形式的解(即,呼吸子)的存在性问题.其中n=(n1,n2,…,nm)∈Zm,σ=±1,(Aψ)n∈zm=ψ(n1-1,n2,…,nm)+ψ(n1,n2-1,…,nm)+…+ψ(n1,n2,…,nm-1)-2mψ(n1,n2,…,nm)+ψ(n1+1,n2,…,nm)+ψ(n1,n2+1,…,nm)+ψ(n1,n2,…,nm+1)是离散的拉普拉斯算子.非线性算子f,(f(u))n=fn(un),是饱和的,即在无穷处渐进线性.假设,还满足规范不变性,即,f(eiωu)=eiωf(u),对任意的ω∈R成立.我们寻找的解是具有如下的形式ψn=e-itωun,其中un是实值的序列,且ω∈R.在这样的变换下,原方程变为,-(Au)n+unun-ωun-σfn(un)=0.　　在此形式下对算子和势函数分别限制条件,通过变分的方法来证明解的存在性.