本文借助于向量场的小扰动和定性分析的方法讨论了几类Hamiltion系统(主要为三次哈密顿系，等变系统以及一类Lienard系统)在多项式扰动下的极限环分支问题。对于等变系统的奇闭轨线的稳定性和分支理论进行系统的研究，给出了一类等变系统中复眼环的稳定性的判据，讨论了这类系统的极限环分支问题；发展了利用同宿(或者异宿、双同宿)轨线稳定性的改变产生极限环的办法，并用来讨论了三次哈密顿系统的扰动分支问题，得到了三次系统具有11个极限环的3种新的分布；给出了四次系统的Hilbert数以及一类Lienard系统的Abel积分的零点个数的线性估计。 第一章讨论了一类具有复眼环的Zq等变系统的复眼的稳定性问题和复眼环的分支问题。首先建立了后继函数，然后通过对后继函数的讨论给出了复眼环的稳定性的判定量，借助于复眼环稳定性的改变和分支理论讨论了这类系统的极限环分支问题。作为定理的应用，在本章的最后讨论了一类Z3等变哈密顿系统的极限环分支问题。 第二章讨论了一类具有9个有限远奇点，而无无穷远奇点的系统在三次多项式小扰动下的极限环分支问题。借助于计算Melnikov(又称为Abel积分)的简单零点的个数，李继彬等得到这类系统可以产生11个极限环并且给出了他们的一种分布。在本章中，我们首先利用隐函数定理给出了这些系统在小扰动下奇闭轨(同宿轨或者异宿轨)存在的条件，然后讨论了他们的稳定性问题，并借助于符号运算系统计算出了决定奇闭轨稳定性的判定量(鞍点的发散量、发散量积分)，接着利用定性分析的办法得到包围所有奇点的大极限环，最后利用定性分析和分支理论的技巧，通过改变这些奇闭轨线的稳定性产生极限环的办法给出11个极限环以及它们的两种分布，其中一种和李继彬得到的分布相同(不考虑与奇点的位置关系的意义下)，另外一种分布为新的。 第三章讨论了一类具有7个有限远奇点，而无无穷远奇点的系统在三次多项式小扰动下的极限环分支问题。利用和前一章类似的方法得到这类系统有11个极限环以及它们的两种分布，其中一种和李继彬得到的分布相同，另外一种分布为新的。 在前面的几章中，我们讨论的是关于原点(包括关于x，y轴)对称的三次哈密顿系统在扰动下的分支问题。在第四章中，我们利用在前面章节里发展起来的方法讨论了一类只关于x轴对称的哈密顿系统的三次扰动分支问题。发现这类系统当产生11个极限环时具有更多种形式的分布(共三种分布，其中两种为新的)。 如果令H(n)为n次系统的Hilbert数(即n次系统可出现的极限环的最大个数)，则我们可知H(n)是有限的，且由李继彬的综述性文章可知：H(2)≥4，H(3)≥11，H(5)≥24，最近韩茂安和YUPei给出了三次系统出现12个极限环的例子，从而使得H(3)≥12.但是，当n=4时，情况如何?本文的第五章中，我们给出了H(4)≥15. 第六章中，我们讨论了一类Lienard系统在多项式扰动下的Abel积分的零点个数问题。在该章的前四节里，我们首先给出了Picard-Fuchs方程和Ricatti方程；借助于它们讨论了(P(h)，Q(h))曲线和(w(h)，v(h))曲线的性质，从而得到Abel积分I(h)=αI0(h)+βI1(h)+I2(h)的零点个数不超过三。在该章的后面几节里，借助于I(h)的代数结构，利用Picard-Fuchs方程和Ricatti方程得到这类系统在多项式扰动下的Abel积分的零点个数小于等于7n+5.