【摘 要】
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时间分数阶扩散、波方程是分数阶微积分理论的主流研究方向.随着分数阶微积分理论在反常扩散、粘弹性力学、流体力学及信号处理等实际问题中的广泛应用,涌现出了大量可靠性相关问题,并吸引了国内外学者的高度关注.由于分数阶微分算子具有非局部性,适用于描述具有记忆和遗传性质的物理行为,使得其成为刻画这类复杂问题的重要工具之一.目前,虽然科研人员对时间分数阶扩散或波方程的数值分析已取得了许多突破性的成果,但在一些
【基金项目】
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国家自然科学基金（11671081）； 江苏省2020年度普通高校研究生科研创新计划（KYCX200072）；
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时间分数阶扩散、波方程是分数阶微积分理论的主流研究方向.随着分数阶微积分理论在反常扩散、粘弹性力学、流体力学及信号处理等实际问题中的广泛应用,涌现出了大量可靠性相关问题,并吸引了国内外学者的高度关注.由于分数阶微分算子具有非局部性,适用于描述具有记忆和遗传性质的物理行为,使得其成为刻画这类复杂问题的重要工具之一.目前,虽然科研人员对时间分数阶扩散或波方程的数值分析已取得了许多突破性的成果,但在一些实际问题中,单一地使用这两类方程不能灵活、精准地来描述这些行为.倘若将这两类方程有机结合,即本文所研究的时间分数阶混合扩散和波方程,则可以更好的对这些行为进行模拟.因此,对这一类问题寻找有效的数值模拟方法具有重要的理论意义和应用价值.本文首先介绍了一维问题基于L1逼近的差分方法.利用离散的能量分析方法,借助正定性条件,严格证明了所构造的差分格式解的存在性、稳定性和收敛性,丰富了已有的结果.最后用数值算例验证了理论结果的有效性.其次,研究了任意维多项时间分数阶混合扩散和波方程基于L2-1σ逼近的差分方法.通过降阶法,将原问题转化为等价问题,对所得问题建立了时间和空间具有一致二阶精度的差分格式.利用离散的能量分析方法,严格证明了差分格式解的存在性、稳定性和收敛性.此外,还讨论了分布阶扩散和波方程以及解具有初始奇异性的多项时间分数阶混合扩散和波方程的数值算法.最后用数值算例验证了格式的有效性.随后,讨论了二维问题基于L2-1σ逼近的快速紧ADI差分方法.结合指数和逼近核函数的方法对分数阶算子建立了相应的快速逼近公式,并用紧算子逼近空间导数得到空间方向具有四阶精度的数值格式,最后采用ADI方法进行求解以降低存储量.利用离散的能量分析方法,严格证明了快速紧差分格式解的存在性、稳定性和收敛性.最后用数值算例验证了格式的有效性.然后,考虑了任意维变阶时间分数阶扩散方程基于L2-1σn逼近的紧差分方法.采用迭代法在每个时间层附近求解超收敛点tn+σn,在超收敛点处对变阶Caputo导数建立了具有二阶精度的逼近公式,并用紧算子逼近空间导数得到空间方向具有四阶精度的数值格式.利用数学归纳法,严格证明了紧差分格式解的存在性、稳定性和收敛性.最后用数值算例验证了格式的有效性.最后,探索了二维变阶时间分数阶波方程基于L2-1σn逼近的差分方法.采用降阶法对方程建立了时间二阶差分格式.利用离散的能量分析方法,严格证明了差分格式解的存在性、稳定性和收敛性.最后用数值算例验证了格式的有效性.
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