【摘 要】
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自伴扩张问题是线性微分或差分方程谱理论的基本研究内容之一,基于经典的GKN（Glazman-Krein-Naimark）理论,具有相同亏指数的对称微分算子的所有自伴扩张可由相应方程的平方可积解描述出.当线性微分算子为下方有界算子时,在其所有自伴扩张中有一种保原微分算子下界的特殊扩张,即为Friedrichs扩张.算子的Friedrichs扩张最初由Friedrichs在研究下方有界的稠定算子时提出
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自伴扩张问题是线性微分或差分方程谱理论的基本研究内容之一,基于经典的GKN（Glazman-Krein-Naimark）理论,具有相同亏指数的对称微分算子的所有自伴扩张可由相应方程的平方可积解描述出.当线性微分算子为下方有界算子时,在其所有自伴扩张中有一种保原微分算子下界的特殊扩张,即为Friedrichs扩张.算子的Friedrichs扩张最初由Friedrichs在研究下方有界的稠定算子时提出,它在许多问题的研究中有着重要作用.2021年,文献[49]通过对最大算子域D（H）中的元素加以限制刻画了一类奇异哈密顿系统的Friedrichs扩张,包括对称与非对称情况.本文基于[49]的方法,研究了一类具有一个奇异端点的离散哈密顿系统的Friedrichs扩张.若离散哈密顿系统为对称情况,其Friedrichs扩张域可以通过对最大关系域D（H）中元素加以限制性条件而得到;若为非对称情况,本文通过构造一个闭的半双线性形式证明了其Friedrichs扩张也是最大线性关系H的一个限制,从而刻画出非对称系统的Friedrichs扩张.此外,本文还对J-自伴Friedrichs扩张进行了研究,并给出一个可以使Friedrichs扩张的刻画更加简洁的结论.最后,本文将所有结果应用到具有矩阵值系数的Sturm-Liouville方程上.本文研究了一类具有一个奇异端点的离散哈密顿系统的Friedrichs扩张,内容安排如下:在第二章中,介绍了线性关系及半双线性形式的一些基本概念及性质,并对离散哈密顿系统相应的最大,预最小及最小关系进行定义;在第三章中,主要对离散哈密顿系统的Friedrichs扩张进行了描述.对于对称系统,Friedrichs扩张是自伴的,所以可通过对最大关系H的定义域D（H）中的每个元素加以限制性条件直接描述出.对于非对称系统,通过引入一个闭的半双线性形式证明了非对称哈密顿系统的Friedrichs扩张也是最大线性关系H的一个限制.基于此结论,一类非对称哈密顿系统的Friedrichs扩张也被描述出;在第四章中,给出了一个使得（x*u）（∞）=0成立的充分条件;在第五章中,将所有的研究结果应用到具有矩阵值系数的Sturm-Liouville方程上.
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