论文部分内容阅读
直线汇理论是古典微分几何的一个重要研究领域.本文第三章是在[1]的基础上进一步讨论了三维Minkowski空间E31中直线汇基本元素的性质.第四章，第五章则是在E31中的类空曲面S上继续研究曲率线族及测地曲线族的切线所构成的线汇T，主要研究了线汇的两叶焦曲面的对应问题.在E31中推广了A.Abdel-Baky及B.J.papantonion等人的研究.本文得到的主要结论如下：
1.定理3.3类时线汇两叶焦曲面一般是类时曲面，焦平面，配分平面，主要平面均为类时平面且两配分(主要)平面M-正交；配分与主要平面夹角为π/4或3π/4.
2.定理3.4类空线汇若主要曲面存在，两叶焦曲面，两焦平面及主要平面均为一个类空，一个类时且主要曲面M-正交；若配分曲面存在，两叶焦曲面，焦平面均同为类空或类时，而两配分平面，一个为类空，一个为类时且M-正交.
3.定理4.6设ψ，ψ-为类时法线汇Y1的两叶焦曲面，以原曲面S上的同一条法线上两焦点为对应点，对应点处总曲率为K1，K2；设原曲面S的两主曲率半径为R，R-，则成立：
(1)ψ，ψ-的渐近曲线相互对应的充要条件是S是Weingarten曲面.(2)ψ，ψ-的曲率线相互对应的充要条件是S是R-R-=const的Weingarten曲面.此时K1=K2=正常数.(3)若ψ，ψ-可展，则原曲面S与平面等距.4.定理5.3E31中类空曲面S的测地线(非直线)族的切线构成的类空线汇T，其两叶焦曲面(非退化)在同一条光线上两焦点相互对应下保持渐近曲线相互对应的充要条件是两叶焦曲面的Gauss曲率K1，K1满足KK1=-q4，其中q为测地线正交轨线的测地曲率半径.
5.定理5.4E31中类空曲面的测地线族的切线所构成的线汇是法线汇.如果其正交曲面是极小曲面，那么它的两叶焦曲面是保持渐近曲线相互对应的且两叶焦曲面的Gauss曲率K，K-满足KK-=-q4，其中q为测地线正交轨线的测地曲率半径.