马尔科夫分支过程(MBP)在应用概率和随机过程等领域占有很重要的地位。众所周知，控制着Markov分支过程演变的基本性质就是它的独立性，即不同的粒子在演变过程中是相互独立的。然而，在许多的实际情况中这种独立性并不一定成立，由此MBP的应用也就受到了限制。所以人们越来越感兴趣于推广普通分支过程到更广义的相互影响的分支模型。特别地，碰撞分支过程作为一类广义分支过程引起了很多研究者的巨大兴趣。在碰撞分支过程中粒子演变仅由两两碰撞产生，随机且相互独立；每对粒子发生碰撞的可能性相等，在碰撞后死亡并被一定数量的子代以一定的概率取代；当系统中粒子数少于两个时不发生碰撞。　　 文献[3，6，7]等对此模型做过一些研究和讨论，并得出了较为丰富的成果。然而本文另辟蹊径，着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，主要研究碰撞分支Q-矩阵所生成的积分半群及其相关性质。　　 在本文第二章中，我们首先讨论了碰撞分支Q-矩阵的性质，然后得出其对偶矩阵并对其对偶转移函数的性质进行了研究。主要结论如下:　　 命题2.1.4碰撞分支Q-矩阵是随机单调的。　　 命题2.1.5碰撞分支Q-矩阵是零流出的当且仅当m1≤0。　　 命题2.1.6当m1＞0时，碰撞分支Q-矩阵是零流入的。　　 定理2.1.8当且仅当m1≤0时，碰撞分支过程的最小Q-函数F(t)是随机单调的。　　 命题2.2.1对偶碰撞分支过程总是存在的，且其(Q)-矩阵形式为：~qij={(j+12)αi-j+1-(j2)ai-j+2 ai0如果j≥2，i≥j-2如果j=1，i≥0其他　　 定理2.2.2令(Q)为对偶碰撞分支q-矩阵，则(1)(Q)是Feller；(2)(Q)是保守的；(3)(Q)是对偶的，即(Q)是随机单调的；(4)当m1≤0时，(Q)在l1上零流入。　　 定理2.2.3当m1≤0时，对偶碰撞分支过程的最小(Q)-函数(F)(t)是对偶的。　　 定理2.2.4当m1≤0时，转移函数(F)(t)是Feller的。　　 定理2.2.5当m1≤0时，转移函数(F)(t)不是强遍历的。　　 在第三章中我们讨论了碰撞分支过程在Banach空间l∞上所生成的积分半群，在不同条件下其生成元是什么以及积分半群的Feller性质，主要结果如下：　　 定理3.1.1当且仅当m1≤0时，碰撞分支矩阵Q∞在l∞上可以生成一个积分半群T(t)=(Tij(t)；i,j∈Z+)。特别地，T(t)是一个Markov积分半群，且T"(0)=Q。　　 定理3.2.3当m1＞0时，T(t)在l∞上的生成元是Q**5。　　 定理3.2.1当m1＞0时，由碰撞分支Q-矩阵所生成的积分半群T(t)满足Feller性质。　　 在讨论积分半群的同时，我们也研究出了当碰撞分支过程的最小转移函数分别作为c0，l1上的算子半群时它的生成元:　　 定理3.2.2当m1＞0时，Q0是F(t)在c0上的生成元，Q*0是F(t)在l1上的生成元，这里F(t)是碰撞分支过程的最小Q-函数。　　 根据文献[2]，我们得出在不同情况下积分半群的生成元有如下性质：　　 命题3.1.3当且仅当m1≤0时，有(1)Q∞耗散，且ρ(Q∞)(∪)(0，∞)；(2)R(λ，Q∞)对于所有λ＞0是一个正矩阵算子；(3)对于(A）j∈E，limλ→∞λR(λ，Q∞)ej=ej弱*成立。　　 命题3.1.4当且仅当m1≤0时，1∈D(Q∞)且Q∞·1=0，其中1=(1，1，1……)T∈l∞。　　 命题3.2.4当m1＞0时，Q0，Q*0，Q**0是耗散的，且D(Q0)在c0上稠密。　　 命题3.2.6当m1＞0时，以下三条件成立：(1)Q**0是Q∞的限制，即Q**0(∩)Q∞；(2)Spani∈E{ei}(∩）D(Q*0)；(3)对(A)i,j∈E，t≥0，后项方程Fij(t)=∑k∈EqikFkj(t)总成立。　　 当系统中没有或者只有一个粒子的时候，碰撞分支过程系统就会停止演变。所以我们对碰撞分支过程进行推广，在本文第四章我们将研究他们各自的积分半群。当系统停止演变时候我们希望能够存在某种外在的移民来拯救系统，而第一小节研究的就是这种带拯救的系统的积分半群。主要结果如下：　　 命题4.1.3当且仅当mb≤0时，矩阵Q(R)是零流出的。　　 命题4.1.4当mb＞0时，矩阵Q(R)是零流入的。　　 定理4.1.5当且仅当mb≤0时，带拯救的碰撞分支过程在l∞上生成的积分半群S(t)的生成元为Q(R)∞。S"(0)=Q(R)。　　 定理4.1.6当mb≥0时，积分半群S(t)满足Feller性质。　　 由于碰撞分支过程中每一对粒子发生碰撞的可能性是相同的，碰撞是随机的且相互独立的，而在实际中很多时候粒子碰撞并不是这样进行的，所以陈安岳等人推广出一类更广义的模型一含两个参数的广义碰撞分支过程。在本章第二小节我们研究该系统的积分半群，并得到如下结果：　　 命题4.2.3矩阵Q(G)是零流出的当且仅当下列条件中一个成立：(1)md≥mb(2)md＜mb＜+∞且α+β≤1(3)mb=+∞，α+β≤1且∫1ε(1-s)α+β-1/-U(s)ds=+∞　　 命题4.2.4当md＜mb≤+∞时，矩阵Q(G)是零流入的。　　 定理4.2.5广义碰撞分支过程在l∞上生成的积分半群G(t)，当且仅当满足命题4.2.3中条件(1)(2)(3)中的某条时，其生成元为Q(G)∞。G"(0)=Q(G)。　　 定理4.2.6当md＜mb≤+∞时，积分半群G(t)满足Feller性质。