在化学中，图论有许多重要应用，特别是图的特征值和共轭碳氢化合物中π-电子的分子轨道能量级之间有着紧密对应。在量子化学理论初期，大多数共轭碳氢化合物的π-电子的总能量E，在休克尔分子轨道近似下，可用下面的公式进行估算E=E(G)=n∑i=1|λi|这里，λi表示共轭碳氢化合物的分子图G的特征值。注意到，对一般图我们均可定义等式(0.1)的右边。于是，对任一给定的图G，我们可以用上面等式来定义图G的能量。　　 自1977年著名数学化学家Gutman提出图能量的理论，图能量，特别是图能量中极值图的刻画，已是图论研究的活跃方向之一，并引起了理论化学家和数学家广泛关注。进入新世纪后它更是得到长足地发展，许多重要结论相继被发现。在极值图能量研究中拟序关系“()”是一个重要和常用的工具(拟序，即，如果两个图的特征多项式所有对应系数比较时，它们的符号满足一致性，那么我们就称这两个图满足拟序关系。)。但是随着研究的不断深入，出现了大量用拟序关系不能解决的极值能量问题。我们称之为拟序不可比问题。我们充分利用Coulson积分公式，并结合分析、代数和组合方法，成功地解决了一系列这类极值能量问题。　　 令G为一个具有n个顶点m条边的连通简单图。图G的基本圈数定义为c(G)=m-n+1。通过图的基本圈数，分别称满足条件c(G)=0，1，2或3的图为无圈图(或树)、单圈、双圈和三圈图。　　 2001年，Gutman和Vidovic提出猜想：如果n≥16和n=14，双圈图中具有极大能量图是图P6，6n。P6，6n表示由两个长度为6的圈通过一条Pn-12路连接而成的图。Rn-t，t表示长度分别为n-t和t的两个圈通过一条边连接而成的图。2007年，Li和Zhang在二部双圈图中证实了上面的猜想，但是没有排除图Rn-t，t。因为图Rn-t，t和图P6，6n是拟序不可比的。在2.1.1节，我们完全解决了这一问题。即，图P6，6n在二部双圈图中具有极大能量。在2.1.2节，关于一般的双圈图，我们进一步研究这个极值能量的公开问题，并在()n图类中证实了以上猜想。　　 2008年，Liu等人在图类()(n)中得到了极小能量图。但是在拟序不可比的两个图中，他们没能确定哪个具有极小能量。在2.2.1节，我们彻底解决了这个难题。　　 2008年，Wei考虑了()n图类中的极值图问题，但是在能量排序中，发现具有第二小能量图是两个拟序不可比的两个图之一。在2.2.2节，我们完全刻画了这个问题，并得到了从第一小到第七小的极值图。　　 1999年，Caporossi等人提出极小能量图猜想，并证实了在m=n-1和m=2(n-2)时结论成立。对于m=n时，2001年，Hou完全解决了该问题。对于m=n+1时，2005年，Li和Zhang在给定条件下证实了猜想。2008年，Li等人，在二部三圈图的情形讨论了该公开问题，然而他们不能排除若干拟序不可比的图。在第三章我们成功地克服了这一困难。　　 在第四章，我们将介绍一类单圈图的极小能量图。