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变指数函数空间对解决在自然科学和工程技术中的一些非线性问题有着很好的表现.例如,对一类具有变指数增长性条件的非线性问题,变指数Lebesgue空间和Sobolev空间就发挥着重要的作用.随着金融工程等随机分析应用领域中非线性问题的不断出现,如非线性定价算子和非线性期望等问题,变指数函数空间对解决在金融工程等领域出现的非线性问题是否会有良好表现,因此,对随机指数函数空间以及在随机分析上推广的变指数函数空间就有研究的必要了.本文将要将具有确定变指数的函数空间扩展到具有随机指数的函数空间、具有随机指数的随机过程空间以及高斯测度下Hilbert空间上的变指数Lebesgue空间和Sobolev空间,并且以此为框架,将讨论它们的空间性质并给出一些应用.本文将要研究的工作如下:1.本文将建立带有随机场指数的函数空间理论.引入带有随机场指数函数空间的Lebesgue空间Lp(x,ω)(D×)和Sobolev空间Wk,p(x,ω)(D×),讨论这些空间的基本性质,如完备性,自反性以及嵌入定理.作为应用,我们将证明一类具有随机变指数增长条件的随机微分方程在W1,p(ω)0(D×)中弱解的存在唯一性.2.本文要将变指数引入随机过程函数空间.本文将建立几类带有随机指数的随机过程函数空间理论.定义随机指数随机过程空间CB([0,T];Lp(·)())和Lp(·)B(;C([0,T])).证明它们的一些基本性质,如完备性,几个空间的包含关系等.然后本文将讨论Lp(ω)([0,T]×,P,μ×P)上的Ito积分,给出Ito积分模的估计,得到Lp(ω)([0,T]×,P,μ×P)上的Ito积分和CB([0,T];Lp(·)())的关系.紧接着,作为应用,本文将利用压缩映像原理证明了半线性随机微分方程在给出的在带有随机指数随机过程函数空间的解的存在唯一性问题.3.本文将引入Hilbert空间H上具有Gauss测度μ的变指数函数空间Lp(x)(H,μ).然后将证明一些逼近结果,如Cp(x)c(H)在L(H,μ)中稠密以及指数函数集E(H)在Lp(x)(H,μ)中稠密,给出白噪声函数Wz变指数范数的估计.通过逼近结果以及可闭化算子的一些结果,本文将建立变指数函数空间上的Malliavin导数,并定义Sobolev空间D1,p(x)(H,μ),将Malliavin导数从D1,2(H,μ)扩展到了变指数空间D1,p(x)(H,μ).最后将给出变指数函数空间上Malliavin导数的一些性质,如复合求导和乘积求导.