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本文第一章是关于半直积的研究.关于半直积的研究,[3],[5]…均用幂等元法对其进行了刻画,本文充分考虑到完全正则半群的J-关系为同余重要条件,讨论此类半群半直积的结构,由此得到的结果比用幂等元法所刻画的结果要好的多.这就提示我们,对不同类型的半群的半直积的研究,应充分挖掘其独特的性质和特点,并采取不同的讨论方法,就会使这一研究更加丰富多彩.第二章关于半群的广义素同余.郭聿琦已经证明了在任意半群上完全半素同余是完全素同余的交. Shumk.p和谢湘云分别讨论了在∧-半格和交换序半群上的n-紊理想.在这篇文章中,我们讨论了素同余,半素同余和n-素同余.证明了每个半素同余(特别的n-素同余)是素同余(特别的(n-1)-素同余)的交. 具体内容如下:
定理2.2.6 S是半群,则以下条件是等价的:
(1)S上的一个Rees同余是半素的当且仅当它是一族素的Rees同余的交;
(2)S是弱可约半群当且仅当S同构于一族weakly integral半群的次直积;
(3)S上的同余p是半素的当且仅当p是S上的一族素同余的交.
引理2.3.4 S是半群,F是S的子半群. F是n-滤集,且由 x∈S,x∈F得x∈F当且仅当SF是S的n-素理想.
定理2.3.10 S是半群,则以下条件是等价的:
(1)每个完全半素且n-素Rees同余是一族包含它的(n-1)-素Rees同余的交; (2) 每个可约的且n-可积半群是一族(n-1)-可积半群的次直积;
(3)每个完全半素且n-素同余是S上一族(n-1)-素同余的交.
第三章关于π-正则半群与理想.我们已经系统学习了理想、主理想、真理想、π-逆半群、π-纯正半群、强π-逆半群等等.对其性质有了较为深入的了解.这一章中,我们用理想、主理想、真理想刻画了π-正则半群;用主理想刻画了左π-逆半群、右π-逆半群、π-逆半群、π-纯正半群、强π-逆半群等等. 具体内容如下: 定理33.2.2 S为半群,以下结论成立:
(1)S为左π-逆半群当且仅当S的每个主理想是左π-逆半群;
(2)S为右π-逆半群当且仅当S的每个主理想是右π-逆半群;
(3)S为π-逆半群当且仅当S的每个主理想是π-逆半群. 定理3.2.3 S为半群,以下结论成立:
(1)S为π-纯正半群当且仅当RegS是S的子半群且S的每个主理想是π-纯正半群;
(2)S为强π-逆半群当且仅当RegS是S的子半群且S的每个主理想是强π-逆半群.