本工作主要研究Ising模型和逾渗(percolation)模型中的相变问题。在广泛查阅了国内外Ising模型相变和复杂网络逾渗相变相关文献的基础上,论文首先概述了这两类非常重要相变的物理背景及其现实意义,全面综述了 Ising模型和逾渗模型的发展现状和研究趋势。然后,论文用概率论的方法,从理论和数值两方面深入研究了三维具有plaquette四自旋和四面体四自旋Ising模型的相变性质,从理论和数值两方面分析了模型在热力学极限下系统相变的性质,并在有限格点系统上,用关联关系(correlation relationship)近似计算了系统的配分函数,进而深入分析了平均场计算中的误差来源。论文采用关联关系近似分析了具有四自旋相互作用的石墨烯结构上的Ising模型,用数值和解析的方法详细讨论模型中的温致相变和场致相变问题,给出了外场下石墨烯结构上Ising模型的相变特征及分类。其次,论文给出了树网络碎片化的快速逾渗算法,利用快速算法讨论了树网络的随机演化和碎片化过程以及特定树网络上的Achlioptas演化过程和碎片化过程的相变特征。最后,论文系统研究了具有任意浓度的“五边形-七边形”缺陷的石墨烯结构上的逾渗特性,并提出了确定逾渗相变点的新方法,进而分析了缺陷浓度对逾渗相变的影响。本研究取得的Ising模型和逾渗模型上的创新性研究成果,达到了预期目标。论文对平均场计算方法的误差分析有重要的指导意义;对基于数值方法研究随机树网络,减少规模效应提供了强有力的计算支撑;同时石墨烯结构上的研究结果对于理解和研究二维材料的物理性质有一定的参考价值。本研究在理论和数值计算方面对相变研究的主要创新点如下:一、本论文成功地将概率统计中的关联关系应用到三维具有四自旋相互作用Ising模型的配分函数计算中,系统分析了平均场近似中的误差来源。发现了不恰当的极限近似导致平均场理论的主要计算误差,从而为今后的精确分析提供了重要指导建议;解析给出了具有plaquette和四面体两种类型四自旋的Ising模型的相变点,具体讨论了四自旋相互作用强度对相变行为的影响,给出了影响相变性质的自旋交换相互作用强度的解析表达式。同时本研究讨论了外场下石墨烯结构上具有四自旋Ising模型的相变行为,从理论上给出石墨烯结构上Ising模型中的自旋交换相互作用对系统铁磁性质的影响,并成功通过数值计算对相变类型分类进行了比较全面地讨论,对进一步研究石墨烯材料性质具有重要参考价值。二、本论文通过设计树网络的标号方法,成功给出了树网络碎片化的快速逾渗算法,使得在数值计算中可极大提高计算系统规模,尽可能减少有限规模效应对研究结果的影响,并为讨论热力学极限下树网络的相变行为提供了良好的计算机仿真算法支持,使其大大优于基于深度优先搜索或宽度优先搜索的计算方法。三、本论文提出了根据集团种类变化确定相变点的简便方法,发现了树网络上Achlioptas演化过程和碎片化过程中出现的性质不同的两种相变现象,指出了特定树演化模型上的Achlioptas过程是不连续相变而Achlioptas碎片化过程则是连续相变,并发现随机选边和偏好选边以及演化对象的选择都对树网络的鲁棒性(稳定性)有显著的影响。四、本论文首次研究了具有任意浓度“五边形-七边形”缺陷的石墨烯结构上的逾渗特性,通过对具有不同缺陷浓度、不同有限尺寸的石墨烯结构的模拟仿真,成功得到了具有任意浓度缺陷的石墨烯结构在热力学极限下的逾渗阈值,并指出缺陷浓度对逾渗性质的影响很小。另外,本文提出的统计采样技术,不仅可极大提升Monte Carlo采样中的系统计算规模,也可应用到其它类型格点系统。