【摘 要】
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奇异积分方程的研究为无界区域问题、断裂问题等工程中的许多问题提供了理论依据。对于奇异积分的近似计算,构造埃尔米特插值和三次样条插值近似计算奇异积分的求积公式,研究近似计算奇异积分的超收敛现象;对于奇异积分方程的求解,基于梯形公式,选取每个子区间的中点为配点构造配置格式,证明了配点法求解圆周上三阶超奇异积分方程的收敛阶。首先,利用埃尔米特插值多项式研究奇异积分的近似计算。关于区间上柯西型奇异积分的近
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奇异积分方程的研究为无界区域问题、断裂问题等工程中的许多问题提供了理论依据。对于奇异积分的近似计算,构造埃尔米特插值和三次样条插值近似计算奇异积分的求积公式,研究近似计算奇异积分的超收敛现象;对于奇异积分方程的求解,基于梯形公式,选取每个子区间的中点为配点构造配置格式,证明了配点法求解圆周上三阶超奇异积分方程的收敛阶。首先,利用埃尔米特插值多项式研究奇异积分的近似计算。关于区间上柯西型奇异积分的近似计算,其收敛阶为O（h~4）;关于区间上三阶超奇异积分的近似计算,整体收敛阶为O（h~2）。当误差泛函的特殊函数为零时存在超收敛现象,其超收敛阶为O（h~3）。其次,利用三次样条插值多项式研究奇异积分的近似计算。三次样条插值函数本身光滑,不需要插值节点处函数的导数值。三次样条求积公式近似计算柯西型奇异积分的整体收敛阶为O（h~4）;三次样条求积公式近似计算区间上三阶超奇异积分的整体收敛阶为O（h~2）,且存在超收敛现象,超收敛点为特殊函数的零点,此时超收敛阶为O（h~3）。最后,基于梯形公式求解圆周上奇异积分方程,以超收敛点为配点研究求解奇异积分方程的配点法。通过对其系数矩阵的研究得到其逆矩阵元素的显式表达式。研究逆矩阵相关性质,结合超收敛性建立误差估计理论。数值算例结果保证了埃尔米特积分公式、三次样条积分公式、配点法求解圆周上三阶超奇异积分方程的可行性以及理论分析的准确性。图2幅;表17个;参46篇。
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