本文讨论了一类分支马氏过程的极限性质与一类非局部算子的Green函数相关估计,主要分成三个部分。　　第一部分研究了一类分支速率与位置有关的分支Lévy过程。在该分支系统中,每个粒子的运动是R上的带截断的对称α-稳定过程;位于x处的粒子以速率|x|rlog(1+|x|)(0≤r＜1)死亡并分裂出两个粒子。这部分给出了该系统粒子总数及其数学期望的增长速度。　　第二部分考虑的是与分支布朗运动对应的Kolmogorov-Petrovskii-Piskounov方程(简称K-P-P方程)的行波解问题。在这部分里,本文应用“Spine”方法给出了分支布朗运动一类鞅的极限非退化的充要条件。实际上,K-P-P方程在临界情况下的行波解可以用这类鞅的非退化极限表示出来。相似的方法也可以应用于讨论与多物种分支布朗运动对应的行波解问题。本文第二部分的最后介绍了这方面的相关结果。　　第三部分是对Ird上的算子△α/2+b△β/2的Green函数估计和调和函数的梯度估计。当d≥2,0＜β＜α＜2,b是非负有界函数时,本文给出了该算子在有界C1,1开集上的Green函数的双边估计。进一步地,当b是常值函数,1＜α＜2时,本文给出了对应于该算子的调和函数在Lipschitz区域边界附近的梯度估计。