本论文主要研究了柱坐标系下的时间分数阶波扩散方程的解析解及其分析，由彼此相关而又独立的三章组成：第一章简要介绍了分数阶微积分的历史、发展、定义和应用，以及文中用到的特殊函数的定义、性质和积分变换；第二章研究了柱坐标系下轴对称时间分数阶波扩散方程(FDWE)的解析解和一些特殊情况的分析；第三章讨论了柱坐标系下非轴对称FDWE的问题．　　 第一章为预备知识，简要介绍了本文所需要的数学工具.在§1.1节中，简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概念及常用的分数阶算子，包括了Riemann-Liouville（简称R-L）型和Caputo型分数阶微积分算子的定义及基本性质．在§1.2节中，给出了两类特殊函数即Bessel函数和Mittag-Leffler函数的定义和它们的基本性质，以及本文中用到的两类积分变换定义和重要公式.在§1.3节中，简要介绍了分数阶微积分在几个领域内的研究状况和某些应用.本章是以后各章的基础．　　 第二章中，本文在前人研究的基础上，引入了在有界区域内柱坐标系下的时间分数阶轴对称有源项波扩散方程：　　 不失普遍性,本文对方程引入了第三类齐次边界条件和非齐次的初始条件．我们用积分变换的方法对方程进行求解，对空间变量r进行Hankel变换，对空间变量z进行三角变换，对时间项t用分数阶Laplace变换，然后依次进行逆变换即可得到方程的理论解：　　 在§2.3中，我们对方程的源项和初边条件进行了讨论.在情况I，我们在第一类齐次边界条件下，用类似方法得到了方程的解.对应于这个方程的解，我们假定F(r,z)=F0，g(r，z，t)=g0为常数下对方程的解进行讨论，并且计算了当α=1，α=2，α→0时方程的解，然后对结果进行分析，作出不同α下的w(r,z，t)关于t的图形．下面我们又对源项是δ型的瞵时源g(r，z，t)=g0δ(r-r0)δ(z-z0)δ+(t)和分离变量形式的源项g(r，z，t)=g1(r，z)tβ下对解进行讨论，作出了在不同α下解的图形.在情况II，我们在另一类边界条件下，用类似的方法得到方程的解析解，并且对解进行了讨论，作出了关于不同α下解的图形．最后与当α=1时经典的波动方程的解进行了对比．在§2.4中，我们对结果和图形进行了讨论和分析.　　 第三章在第二章的基础上考虑了柱坐标系下非轴对称的时间分数阶波扩散方方程：　　 对每个变最r，φ，t分别用积分变换和逆变变换的方法，我们可以得到方程(3)的解为：　　 在§3.3，我们在特殊的初始条件和边界条件下对方程的解进行了讨论，并且当没有源项和α=1时，得到了与经典的扩散方程一致的解．