复分析与分形几何交叉研究的切入点是自相似测度的Cauchy变换，由此发展出解析函数的Cantor边界性质(CBB)的研究.CBB这一概念由董新汉教授和刘家成教授合作提出，它与拓扑学、测度论有紧密的联系，它的研究为经典复分析注入了活力，为分形几何研究开辟了一个新的方向.　　本硕士论文在上述领域选题，主要研究两个问题:1.三分Sierpinski垫上Cauchy变换的Cantor边界性质;2.单连通区域上解析逆紧映射的边界性质.　　论文由四章构成，第一章是引言;第二章是预备知识;第三章是研究三分Sierpinski垫K上Canchy变换F的Cantor边界性质.在这一章我们得到了F在CK的无界连通分支Δ0某些边界点附近的渐近公式和F在这些边界点附近的渐进增长，利用这些结果我们最终得到了F在无界连通分支Δ0上有Cantor边界性质.此外，我们也考虑F的洛朗展开式，得到洛朗系数的递推式和渐进表达式;论文第四章是研究单连通区域上解析逆紧映射的边界性质.通过将单连通区域提升到单位圆盘上，我们得到了解析逆紧映射象区域边界点的分支数和其不同逆像点的分支数之间的等式关系，并讨论当边界点是割点和不是割点时，其不同逆像点个数和解析逆紧映射拓扑度之间的不等式关系.