偏微分方程问题主要来源于几何,物理学等问题中的数学模型,因此一直受到人们的关注.拟线性椭圆型方程是偏微分方程理论的一个重要分支,对于这种方程的解的存在性与非存在性,唯一性以及正则性历来是人们研究的主题,特别是对含有临界指数或临界位势的拟线性椭圆型方程Dirichlet问题的研究,近年来是一个热点问题.本文使用的重要工具是Sobolev-Hardy 不等式,讨论了一类含奇系数并且含有临界指数的拟线性椭圆型方程.对拟线性椭圆型方程的Dirichlet问题的无穷多解的存在性,本文利用集中紧原理,没有(PS)条件的由路引理,Clark临界点理论和亏格的性质等,讨论了这种问题的无穷多解的存在性.对于含临界位势的非线性椭圆型方程Dirichlet 问题的研究,目前也是一个热门课题.探讨了含临界位势或超临界位势的凹凸非线性椭圆型方程Dirichlet问题正解的存在性.由于凹凸非线性比凸非线性更难得到(PS)序列的有界性,从而证明这类问题有一定的难度.本文利用Sobolev-Hardy不等式,Ekeland变分原理及由路引理讨论了包含临界指数情形的这类问题的非平凡解的存在性.对N=p的拟线性椭圆方程的研究,我们利用改进的Hardy不等式,Ekeland变分原理与没有PS条件的由路引理,证明了此类问题的非平凡解的存在性.