【摘 要】
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振动性理论是方程定性理论的一个重要分支,是系统的主要动力学性质之一.随着研究的深入发展,关于振动性理论的研究内容和研究方法都得到不断的丰富.该理论在控制学、经济学、生态学以及生命科学等领域应用广泛,成为许多领域的重要研究对象.由于具有偏差变元的微分方程和差分方程能够更准确地刻画实际问题中的模型,其在许多科学研究领域具有广泛应用,例如控制工程、生物学模型、人口问题等.但是正由于偏差变元的存在,可能使
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振动性理论是方程定性理论的一个重要分支,是系统的主要动力学性质之一.随着研究的深入发展,关于振动性理论的研究内容和研究方法都得到不断的丰富.该理论在控制学、经济学、生态学以及生命科学等领域应用广泛,成为许多领域的重要研究对象.由于具有偏差变元的微分方程和差分方程能够更准确地刻画实际问题中的模型,其在许多科学研究领域具有广泛应用,例如控制工程、生物学模型、人口问题等.但是正由于偏差变元的存在,可能使方程的振动性质发生改变,同时也为方程的振动性理论研究带来了诸多困难.本文利用Riccati变换、不等式技巧、系数的慢变性质、非振动解的单调性以及序列改进的单调性等方法对几类微分方程和差分方程的解的振动性以及渐近性进行研究,得到了一些振动准则,分别从方法或结果上改进并推广了现有的一些结论.具体安排如下:第一章,简要介绍了具有偏差变元的微分和差分方程的研究背景和研究现状.第二章,研究了非线性中立型微分方程的振动性与渐近性.首先考虑了二阶半线性中立型超前微分方程.在非规范形式的条件下,利用Riccati变换和不等式技巧,得到了此类方程的解振动的充分条件,以及非振动解的渐近性结果,推广并改进了一些已知结论.然后,研究了一类同时具有超线性和次线性中立项的二阶混合型泛函微分方程,通过对其解的可能情况逐一讨论,建立了其解的振动准则.第三章,考虑了两类变滞量差分方程的振动性.本章引入了两种新的研究方法.其一,利用慢变序列的性质,研究了一类具有变时滞和慢变系数的差分方程,得到了方程的解的振动性新的判据.其二,考虑了一类具有多个变超前变元的二阶半线性差分方程,通过探究该方程的非振动解的序列改进的单调性,建立了判定此类方程的解振动的判定准则.第四章,研究了线性时滞差分方程的稳定性与振动性.本章充分考虑到稳定性、振动性和渐近性之间紧密的联系,利用其关系,研究了一类线性时滞差分方程.从定号系数和非定号系数两种情况出发,通过探讨方程的振动解的有界性和收敛性建立了方程的稳定性准则,并且通过非振动解的单调性研究其稳定性.第五章,总结本文的主要内容,并展望了未来的研究目标.
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