【摘 要】
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q-微积分（也称为量子微积分）自诞生以来,一直是连接着数学和物理学的重要桥梁,特别是在量子物理、材料力学和光谱分析等方面,q-微积分都发挥着极其重要的作用.分数阶q-差分承载了分数阶微积分和离散数学两者的优点,因此具有丰富的研究价值.近几年来,分数阶q-差分理论引起了国内外学者的关注和研究,并得到了一系列优秀成果.随着人们对q-微积分的深入研究,在其应用的激励下,许多研究人员发展了基于双参数的（p
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q-微积分（也称为量子微积分）自诞生以来,一直是连接着数学和物理学的重要桥梁,特别是在量子物理、材料力学和光谱分析等方面,q-微积分都发挥着极其重要的作用.分数阶q-差分承载了分数阶微积分和离散数学两者的优点,因此具有丰富的研究价值.近几年来,分数阶q-差分理论引起了国内外学者的关注和研究,并得到了一系列优秀成果.随着人们对q-微积分的深入研究,在其应用的激励下,许多研究人员发展了基于双参数的（p,q）-量子微积分（也称为后量子微积分）理论.最近几年,随着（p,q）-差分在量子模型、信号处理等数学物理问题中的广泛研究和应用,人们将（p,q）-差分方程与分数阶微积分相结合,开始了分数阶（p,q）-差分方程的研究,它极大地丰富了差分方程理论应用背景的内容.与q-差分方程相比,（p,q）-差分方程有两个真正独立的量化参数p和q,在量子力学和流体力学等数学模型中具有更广泛的适用性,因而分数阶（p,q）-差分方程具有更丰富的理论研究意义和应用价值.目前,分数阶q-差分方程定性理论引起了国内外学者的广泛研究,分数阶（p,q）-差分方程定性理论也逐渐引起了学者们的关注,特别是对其解的存在性与稳定性这两个最基本和最重要的性质的研究,这不但是其理论发展的要求,也是社会生产生活的需要,期望它能在实践应用中发挥相应的作用.本文主要研究了几类分数阶q-差分方程和分数阶（p,q）-差分方程初边值问题的可解性和稳定性,其中包括奇异方程、脉冲方程、薛定谔方程、梁方程,涉及解或正解的存在性、多重性、唯一性和稳定性,得到了一些新的结果.第一章为绪论部分,主要介绍了分数阶微积分理论、分数阶q-差分方程和分数阶（p,q）-差分方程的发展历史及其应用展望,列出有关分数阶q-差分方程和分数阶（p,q）-差分方程的定义、引理和本文运用的主要方法,简要介绍本文研究的主要内容.第二章研究两类分数阶q-差分边值问题的可解性,利用Banach不动点定理、Avery-Peterson定理、Krasnosel’skii不动点定理和基于单调迭代技巧的上下解方法给出两类边值问题解的存在性、唯一性和多重性准则.第三章研究两类分数阶定态薛定谔差分方程边值问题,利用Schauder不动点定理、单调迭代方法、Banach不动点定理和锥上的不动点定理给出解存在的几个充分条件.第四章研究了一类奇异分数阶（p,q）-差分方程初值问题解的存在性和稳定性.第一节,在非线性项在t=0点奇异的假设下建立了该初值问题解的存在性准则.第二节,通过建立（p,q）-Gronwall不等式得到了该初值问题解的稳定性结果,并且该稳定性结果蕴含着解的唯一性成立.第五章研究一类分数阶（p,q）-差分方程边值问题,利用推广的Banach不动点定理和锥上的不动点定理,给出了该边值问题正解存在的充分条件和边值问题解存在唯一的充分条件.第六章为全文的结论与展望,总结论文的主要工作和创新之处,并对将来的可做工作进行展望.
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