【摘 要】
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非线性发展方程在物理、化学、生物以及医学等领域都有着重要的应用.近年来,由于分数阶导数能够更好地刻画一些自然现象,例如记忆效应、反常扩散和Lévy过程等,因此非线性分数阶发展方程得到了众多学者的关注.然而不同于整数阶导数,Caputo时间分数阶导数和分数阶Laplace算子都具有奇异性和非局部性,导致许多经典的理论和方法不再完全适用,给相关问题的研究带来了一定的困难.特别是分数阶导数和非线性项的同
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非线性发展方程在物理、化学、生物以及医学等领域都有着重要的应用.近年来,由于分数阶导数能够更好地刻画一些自然现象,例如记忆效应、反常扩散和Lévy过程等,因此非线性分数阶发展方程得到了众多学者的关注.然而不同于整数阶导数,Caputo时间分数阶导数和分数阶Laplace算子都具有奇异性和非局部性,导致许多经典的理论和方法不再完全适用,给相关问题的研究带来了一定的困难.特别是分数阶导数和非线性项的同时引入,进一步加大了问题研究的难度.目前,大多数研究集中在非线性时间或空间分数阶发展方程上,而有关非线性时空分数阶发展方程解的存在性等结果相对较少,由此激发了本课题的研究兴趣.本文研究了几类具有Caputo时间分数阶导数和分数阶Laplace算子的非线性发展方程解的存在唯一性、渐近性、爆破性及正则性等性质.具体研究如下:首先,对一类时空分数阶Kirchhoff型扩散方程整体弱解的存在唯一性和衰减性进行研究,其中非线性源项对应两种不同的情形.利用分数阶Laplace算子的谱理论、Gal?rkin方法以及迭代技巧,分别给出逼近解的整体存在唯一性.利用Caputo分数阶导数和分数阶Sobolev空间的性质,将经典的紧性定理推广到时间分数阶情形,并分别给出弱解的一些先验估计,然后得到整体弱解的存在唯一性和衰减估计.其次,对具有抽象非线性项的时空分数阶扩散方程温和解的整体存在唯一性和爆破性进行研究.通过分析技巧,给出非线性项满足的假设条件,然后讨论在不同情形下整体温和解的存在性和非存在性.对于次临界情形,利用时空分数阶导数的性质,将强极大值原理推广到时空分数阶情形.进一步,利用上下解方法给出温和解的整体存在唯一性和渐近性.对于临界和超临界情形,利用压缩映像原理得到温和解的局部存在唯一性,然后通过构造合适的假设条件和试验函数证明温和解在有限时间内爆破.然后,对一类时空分数阶Rosenau方程整体弱解的存在唯一性、渐近性及正则性进行研究,其中非线性项包含分数阶Laplace算子.利用Laplace变换和双参数Mittag-Leffler函数的性质,给出解算子的显式表达式和一些精确估计,然后得到对应线性问题整体弱解的存在唯一性和渐近性.通过精确计算,构造一类时间加权分数阶Sobolev空间,然后利用压缩映像原理给出非线性问题整体弱解的存在唯一性和渐近性,最后讨论整体弱解的正则性.最后,对一类具有非局部反应项的时空分数阶多孔介质方程强解的整体存在唯一性和爆破性进行研究.首先对于局部反应项的情形,利用次微分方法,给出对应问题整体强解的存在唯一性和衰减估计.进一步对于非局部反应项的情形,通过精确计算给出该方程的一个临界指数,然后讨论在不同情形下整体强解的存在性和非存在性.对于临界和超临界情形,利用时空分数阶导数的性质、压缩映像原理以及不等式技巧,给出整体强解的存在唯一性.对于次临界情形,通过构造合适的假设条件和试验函数证明强解在有限时间内爆破.
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