几类矩阵逆奇异值问题的研究

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矩阵逆奇异值问题是指构造矩阵,使矩阵的部分奇异值或奇异向量为给定数据,且矩阵结构满足一定的约束条件。矩阵逆奇异值问题是数值计算中的热门话题之一,它在主成分分析、结构分析、循环理论、振动理论、勘测、遥感、生物学、力学、分子光谱等领域都有重要应用。本文主要研究了以下逆奇异值问题:  问题1给定正数σ1,σ2,L,σn和实数d1,d2,L,dn,求n阶实下三角矩阵A,使矩阵A的奇异值为σ1,σ2,L,σn,对角线元素从左上角到右下角依次为d1,d2,L,dn.  问题2给定X∈Rn×r,Y∈Rm×r,∑=diag(σ1,σ2,Λ,σr)∈Rr×r,求A∈Rm×n,使得{AX=YΣYTA=∑XT*  问题3给定X∈Rn×r,Y∈Rm×r,∑=diag(σ1,σ2,Λ,σr)∈Rr×r,At∈R(bi-ai+1)×(di-ci+1),1≤ai≤bi≤m,1≤ci≤di≤n,(i=1,2)求A∈Rm×n,使{AX=YΣYTA=ΣXT,且Ai=A[ai∶bi,ci∶di],(i=1,2).其中Ai表示矩阵A的第ai到bi行与第Ci到di列所构成的子矩阵。  问题4记S0为2或3的解集合,给定A*∈Rm×n,求(A)∈S0,使‖A*-(A)‖F=min A∈S0‖A*-A‖F*  通过分析下三角矩阵对角元素和奇异值之间的性质,给出了求解为问题1的一种递推算法和算例。利用奇异向量和奇异值的特征性质,获得了问题2解存在的充要条件及通解表达式。利用子阵约束下矩阵的特征,讨论了问题3解存在的充分必要条件及通解表达式。进一步研究了问题2和问题3的最佳逼近解,利用奇异值分解的方法和矩阵方程思想,获得了问题4中解的一般表达式,并给出了计算问题解的算法和算例。
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