重对数律是概率极限理论中一类极为深刻的结果,它描述了随机游走的波动率大小。Strassen重对数律是相关研究中的一个重要结果,它是泛函形式布朗运动的重对数律。重对数律与Strassen重对数律之间的关系也是一个有意思的研究课题。关于紧流形M上布朗运动的重对数律以及Strassen重对数律早有研究,其结果已经被领域内所熟知。最近,Ouyang-Pajda-De La O[36]从泛函的角度,给出了由紧流形上布朗运动重对数律引出的随机测度族{μt,t＞0}的极限集合的完整刻画。本文主要研究随机测度曲线族{μλt,t∈[0,1]}的极限集合,即紧流形上布朗运动的Strassen型重对数律,我们给出了随机测度曲线族{μλt,t∈[0,1]},作用在流形M上R值函数以及Rn值函数上的极限集合的具体刻画。这是随机分析在流形上的应用。本篇论文的第二个课题研究的是圆环上热方程解的拟凸性质,C.Borell[5]用概率论以及随机分析的方法证明了布朗运动在时间t以及外边界的首达时之前到达内边界的概率是时空拟凸的,而这一问题恰为圆环上热方程解的性质,怎么用方程的方法给出其证明,是我们这个问题的研究动机。这是概率的方法解决分析的问题。本篇论文的第三个课题研究的是预定曲率测度问题的退化情形。流行的曲率方程通常与偏微分方程相对应,偏微分方程解的凸性是大家关注的研究解的性质,我们给出当预定函数在某些点为零时,预定曲率测度问题解的C1,1估计。