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小波分析是近30年发展起来的一门数学分支，系统地研究开始于20世纪80年代初期，它引起了数学家、物理学家及信息工程专家广泛关注，小波理论和应用得到迅速的发展并取得丰硕成果.小波基具有良好的局部化性质、多分辨率功能等优点.由于小波基性质的多样性,人们可以根据不同的应用背景来选择相应的小波。 本文主要提出并发展子带算子的理论，给出子带算子的界估计，根据最小化子带算子的精确界的原理，给出了鞍点小波的概念，用子带算子的精确界的大小来直接评价双正交小波压缩性能.具体内容安排如下：第1章介绍了小波分析发展史、本论文研究目的、主要研究内容以及得到的主要结果。第2章介绍了L2(R)中多分辨分析的小波框架理论.介绍了具有特殊性质的尺度函数的构造和相关的算法。第3章研究了对称多带双正交小波一般构造方法:基于多相位矩阵分解技术的两步构造法.所谓两步构造法，首先根据第二章的理论构造出满足某些性质的尺度函数，然后用多相位矩阵的扩充方法构造出相应的小波.根据该方法构造出对称3带双正交小波，给出相应的便于程序化的算法.类似于2带小波，构造出其中的一半滤波器通过交换位置和改变符号得到另一半滤波器的4带双正交小波，研究其性质，并且该数学结构可以推广到更高带的小波。第4章首先介绍了Toeplitz矩阵和循环矩阵的定义和性质.然后定义子带算子,研究子带算子的性质.理论上，子带算子的界就是循环矩阵的谱半径的极限,推导出了子带算子的界与框架算子上、下界的关系.通过对循环矩阵理论的发展，求出循环矩阵的谱半径，证明了它的极限即为某个连续函数在一个闭区间上的最大值.这是一个非常理想的结果，从而解决了子带算子的精确界这一难题。第5章中，由于同一族的小波，即使具有相同的紧支集、消失矩等性质，在图像压缩的性能也是不同的，所以给出了用子带算子的精确界的大小来直接评价双正交小波的压缩性能，实验证明是有效的.根据最小化子带算子的精确界原理，给出一类特殊的小波-鞍点小波的构造方法，并且找到比著名CDF(9-7)压缩性能更好具有偶数长的双正交小波，并推广到更高带小波情况。最后是本文的总结与展望，提出了与本文相关的将来需要研究几个问题。 本研究主要创新之处如下：⑴给出了3带对称双正交小波构造的方法多相位矩阵扩充的一种算法。⑵研究了一类4带对称双正交小波的构造与性质，构造出了具有一定应用背景的小波。⑶定义子带算子，发展循环矩阵的理论，给出了子带算子的界估计.根据最小化子带算子的精确界原理，给出鞍点小波的定义，找到图像压缩性能比CDF(9-7)好的具有偶数长的2带双正交鞍点小波，并推广到更高带小波情况.子带算子的精确界的大小可以作为评价非正交小波系统性能的一个重要指标，该理论是传统双正交小波构造理论的补充和发展。