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本文主要考虑如下两个p-Laplacian系统(P)与(P)
(P){d/dt(|(u))t)|p-2(u)(t))=▽F(t，u(t))，a.e.t∈[0，T]，u(0)-u(T)=(u)(0)-(u)(T)=0，
其中T＞0，p＞1，F：[0，T]×RN→R满足如下假设
(A)对所有的x∈RN，F(t，x)关于t可测；对几乎处处的t∈[0，T]，F(t，x)关于x连续可微；存在a∈C(R十，R+),b∈L1(0，T；R+)使得对所有的x∈RN与几乎处处的t∈[0，T]满足
|F(t，x)|≤a(|x|)b(t)，|▽F(t，x)|≤a(|x|)b(t)，
其中R+是所有非负实数的集合.
(P）d/dt(|(u)(t)|p-2(u)(t))=▽F(t，u(t))，a.e.t∈R，其中p＞2，F：R×RN→R，F(t，x)=G(x)+H(t，x)关于t是T周期的并且满足上面的假设(A).
本文用临界点理论首先讨论系统(P)周期解的存在性与多解性问题，然后讨论系统(P)次调和解的存在性问题.主要结果如下
定理1假设F满足(A)和以下条件
(F1)当序列{un}(∪)WT1,p满足||un||→∞和|(u)n|T1/p/||un||→1时，就一定满足不等式
liminfn→∞∫0T(▽,un(t)),(un)/|(u)n|)dt＜0，
(F2)对几乎处处的t∈[0，T]，liminf|x|→∞F(t,x)/|x|p-1＞-1/p1/Cp一致地成立.则系统(P)在空间W1T,p中至少存在一个解.其中
Cp=sup{||u||pLp|u∈(W)1T,p，|(u)||pLp=1}，
W1T,p,p={u：[0，T]→RN|u绝对连续，u(0)=u(T)且(u)∈Lp(0，T；RN)}是一个自反的一致凸Banach空间，其上的泛数为
||u||=(∫0T|u(t)|pdf+∫0T|(u)(t)|pdt+∫0T|(u)(t)|pdt)1/p，
并且(u)=1/T∫0T u(t)dt.
定理2假设F满足(A)和以下条件(F3)对几乎处处的t∈[0，T]，liminf|x|→∞F(t,x)/|x|p≥0一致地成立，(F4)当序列{un}(∪)WT1，p满足||un||→∞和|(u)n|T1/p/||un||→1时，就一定满足不等式
limn→∞∫0TF(t,un(t))dt=+∞，
则系统(P)在WT1,p中至少存在一个解.
定理3在定理2的条件下，假设F还满足如下条件
(F5)存在一个常数δ＞0使得-1/p1/Cp|x|p≤F(t，x)≤0对所有的|x|≤δ和几乎处处的t∈[0，T]都成立.
则系统(P)在WT1,p中至少存在三个解.
定理4假设F(t，x)=G(x)+H(t，x)满足(A)和如下条件(F6)存在函数g∈L1(0，T；R+)使得
|▽H(t，x)|≤g(t)
对所有的x∈RN和几乎处处的t∈[0，T]都成立，(F7)存在r＞0使得
(▽G(x)-▽G(y)，x-y)≥-r|x-y|2
对所有的x，y∈RN和几乎处处的t∈[0，T]都成立，(F8)存在函数γ∈L1(0，T)使得
F(t，x)≤γ(t)
对所有的x∈RN和几乎处处的t∈[0，T]都成立，
(F9)存在[0，T]中的子集E并且mea.s(E)＞0，使得当|x|→∞时对几乎处处的t∈E有F(t，x)→--∞.
则对每个正整数k，系统(P)存在kT-周期解uk∈W1kT,p，使得当k→∞时有||uk||∞→∞，其中||uk||∞=max0≤t≤kT|uk(t)|，
WkT1,p={u：[0，kT]→RN|u绝对连续，u(0)=u(kT)，且(u)∈Lp(0，kT；RN)}是一个Sobolev空间，并且赋有范数
||u||(∫0kT|u(t)|Pdt+∫0kT|(u)(t))|Pdt),1/p.
定理5假设F(t，x)=G(x)+H(t，x)满足(A)，(F7)和如下条件(F10)存在函数f，g∈L1(0，T；R+)和常数α∈[0，p-1)使得|▽H(t，x)|≤f(t)|x|α+g(t)
对所有的x∈RN和几乎处处的t∈[0，T]都成立，(F11)当|x|→∞时，对几乎处处的t∈[0，T]，|x|-qαF(t，x)→-∞一致地成立，其中α的定义与(F10)中一样，且q=p/p-1.
则对每个正整数k，系统(P)存在kT-周期解uk∈WkT1,p，使得当k→∞时有||uk||∞→∞.
定理6假设F(t，x)=G(x)+H(t，x)满足(A)，(F7)，(F8)，(F10)和如下条件(F12)存在[0，T]中的子集E并且meas(E)＞0，使得当|x|→∞时对几乎处处的t∈E有|x|-qαF(t，x)→-∞.
则对每个正整数k，系统(P)存在kT-周期解uk∈Wk,P，使得当k→∞时有||uk||∞→∞.