压缩感知是一种建立在优化理论、运筹学和矩阵分析等基础上的全新的信号获取与处理的理论框架,它突破了传统信号对采样频率要求的瓶颈,极大地促进了数学理论与工程应用的结合,并在核磁共振、医疗成像等多个领域有广泛的应用前景。压缩感知理论主要包括三个部分:信号的稀疏表示、测量矩阵和信号重构算法的设计,其中信号的重构算法是该理论的核心部分,直接决定了信号的重构效果。本文主要对l₀极小化问题及其相关问题解的状况和压缩感知中迭代硬阈值算法进行了探究,给出了l₀极小化问题解的个数的上界,并提出了快速迭代硬阈值算法等几个改进的新算法。具体研究结果如下:（1）压缩感知中的重构算法主要是解决l₀极小化问题,所以探讨该问题解的个数有其实际的研究意义。本文证明了该问题解的个数的范围为并构造特定测量矩阵Ф与测量信号b,使l₀极小化问题解的个数达到上界,即证明此为最佳上界。此外,对l₀极小化的相关问题也进行了探讨,当spark（Ф）≥s+1时,该问题的解的个数为有限个,取值范围为[1,C_N^s]。同样,构造特定的测量矩阵F和b可使解的个数达到上界。（2）基于最速下降法的思想,本文提出了快速迭代硬阈值算法,从数值实验可以看出改进的算法在性噪比、重构概率和运行时间方面都优于原算法。并且,对正规化迭代硬阈值算法和拟牛顿迭代投影算法进行了相应的改进,提出了快速正规化迭代硬阈值算法和快速拟牛顿迭代投影算法,改进的算法能减少计算时间、提高重构效率。