在数学与计算机科学领域中，离散可计算性和计算复杂性理论起着至关重要的角色。它引领人们去发现，理解，分类各种各样的可判定以及不可判定问题，开辟了现代计算机科学的新时代，深深地影响着人们世界观。然而，物理和工程中提出的绝大多数数学模型，其基础概念仍然是实数。因此，我们有必要在实数或者更一般的连续数据结构上建立可计算性和计算复杂性理论。近年来，人们在这个领域取得了相当大的进步。遗憾的是，与离散情形相比较，连续计算理论还处于发展的初级阶段。可以说，在连续计算理论领域中，有许多重要基础问题没有解决，大量的难题等待着发现。当前，基于生物和物理模型而提出的新计算方案。例如，DNA计算，量子计算。对效率问题提出了根本性的新思路，并向Turing屏障的假说提出挑战。突破Turing屏障，就要找到超图灵机的数学模型。Gold提出的极限递归理论，就是一个成功的尝试。拓广了算法学习理论。极限递归理论中的判定问题本质上是用一个算法，有限时间里已经得到结果，但不能知道这个结果在何时取得。因此我们认为是无限长的时间后，最终获得结果。这个过程类似于人类学习过程。计算学习理论广泛应用于计算机科学领域，例如，证明检测，程序验证，算法学习理论等领域。本文所论及的可学习概念主要指在计算的过程中，运用了极限递归函数（或函子）。另外，人们提出的连续计算模型，对时间而言，仍然是离散的。例如，BSS计算模型，递归分析中的可计算实函数的计算模型本质上是带外息的多带图灵机。C.Moore首次将自然数集合N上的递归理论拓展到实数集合R上。拓展的方法是，在递归函数的定义中，用连续的算子代替离散算子。也就是说，用微分递归算子代替离散的本原递归算子，用连续μ-递归算子代替离散的极小算子。近年来，随着超图灵机计算模型的广泛研究，模拟计算理论和计算学习理论再次引起了人们的极大兴趣。刻画各种计算模型之间的关系仍然是理论计算科学的研究热点之一。本文作者在导师李祥教授和日本京都产业大学Mariko Yasugi教授的指导和帮助下，从事此课题的研究工作，给出实递归函数与可计算实函数和可学习实函数之间的关系。具体的说，本文的研究工作主要在如下下几个方面。·用图灵计算复杂性理论刻画实递归函数的一个子类—本原实递归函数的初等可计算性。在实递归函数的可计算性方面，我们证明了本原实递归函数在紧区间上的初等可计算性，也就是说，该类函数的计算复杂性可以归结到标准的初等计算复杂类中。这加强了A.Kawamura的关于本原实递归函数的可计算性结论。·基于极限递归函数理论刻画实递归函数的一个子类的可学习性。在实递归函数的可学习性方面，可学习实函数赋予不连续函数的学习性质。文中证明了M.Yasugi提出的Para-可计算函数类与实递归函数谱系M₁中的不连续函数的关系。·基于极限递归函数理论刻画递归实数的一个子类的可学习性。用极限递归函数替代递归函数，定义了可学习实数，证明了可学习实数与其它实数谱系的关系。·基于模拟计算模型和无限极限，提出新的实递归函数的定义。本文中，基于GPAC可计算函数和取无限极限运算，提出了LGPAC函数类的概念。证明了LGPAC等价于Moore的μ-谱系实递归函数和Mycka的L-谱系实递归函数。于是，Moore提出的不明确的微分递归算子，可以去掉不用。而代之以实际可实现的计算模型GPAC。这些结果更进一步地揭示了模拟计算与离散计算的关系，对不连续函数的计算理论及其计算模型从可学习的角度有了新的认识。