用图的方式表示代数结构，不仅可以将抽象的知识直观化，而且还可以利用图的结构研究代数的性质，这其中比较有代表性的应该是箭图和零因子图。本文利用这一思想方法，主要研究单项式代数的推广、Nakayama猜想的证明以及von Neumann正则环上的图结构。我们分三章进行讨论。　　 第一章简要介绍研究的背景、思想方法和本文的主要结果。　　 第二章主要讨论了单项式代数的推广，定义了一类新的代数-无交换关系代数，我们研究了其基本性质并相应地在这类代数上证明了Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想，从而推广了前人的结果。作为一个公开问题(见文[14])，推广单项式代数是一个十分重要的研究课题，这不仅因为其结构简单，是许多问题研究的起点，而且许多著名的猜想在单项式代数上是成立的(见文献[28][29])。在§2.2中，根据箭图和路代数的思想方法，通过在一般Artin代数上引入一套类似于路代数的概念和方法，定义了一类排除了交换关系的代数，称之为无交换关系代数(见定义2.2.9)。§2.3则证明了一个重要结论：假定K是域，并且Λ≌KΓ/I是一个单项式代数，那么Λ是一个无交换关系的代数(见定理2.3.5).这就说明了单项式代数是无交换关系代数的一种特例.紧接着，我们给出了几个重要例子，说明了反之是不一定成立的，从而证明了这种推广是有效的非平凡推广。在§2.4和§2.5中，我们证明在推广以后的这类代数上Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想仍然是成立的.我们将右Artin代数Λ中的元素视为投射模之间的同态，结合箭图理论的思想方法，讨论了控制维数大于等于1(或者2)的右Artin代数的性质，得到了本文的一个最重要结论：控制维数大于等于2的右Artin代数Λ是Nakayana代数的充分且必要条件是Λ是无交换关系的代数(见定理2.5.9).从而在这类代数上证明了Nakayama猜想和Auslander-Reiten猜想。　　 第三章主要讨论von Neumann正则环上的图结构。对零因子图的研究，一方面为代数系统的结构和性质的研究注入了新的思想方法，另一方面为图论的研究提供了新的研究对象和应用平台。目前对有向零因子图的研究主要集中在有限环上(见文[67]-[69])，对于一般von Neumann正则环R的有向零因子图Γ(R)，我们在§3.2中刻画了其连通性和顶点情况，证明了Γ(R)是连通的当且仅当R是直有限的；如果R是无单位元的正则环，那么Γ(R)是连通的当且仅当R无真的单边恒等元.我们用Sour(R)，Sink(R)分别表示有向零因子图Γ(R)的源点和收点集合.那么我们有：　　 (1)Sour(R)={a∈R| a是右可逆的但左不可逆}；　　 (2)Sink(R)={a∈R| a是左可逆的但右不可逆}.根据零因子图的构造思想，在§3.3中，我们在一般环R上引入了一类新的图结构ΓN(R)，这种图结构相对于零因子图而言，更多的反映了关于幂零元的信息.对正则环R，我们刻画了ΓN(R)的连通性、直径和围长(见定理3.3.6)，以及当ΓN(R)为星图时对R的完全刻画(见定理3.3.7).另外，对有限非约化交换环R，我们给出了其边色数公式：x(ΓN(R))=△(ΓN(R))，除非R=N(R)并且|R|为偶数(见定理3.3.14).同时，如果S是一个交换环且不是域，那么除了两种情形外，ΓN(R)(≌)ΓN(S)(←→)R(≌)S(见定理3.3.16)。