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近些年,非交换几何这个重要的学科得到了很大的发展,它对几何、拓扑、数论,以及物理都产生了巨大的影响。
在1984年,Wodzicki发现了闭流形上所有经典拟微分算子的代数上的一个迹(现称为Wodzicki留数),而且差一个倍数,这个迹是唯一的。Wodzick留数在非交换几何中扮演着非常重要的角色,例如:见[C3],[Ka],[KW]等。在[C2]中,对于偶数维紧致无边可定向共形流形,Connes构造了一个标准的Fredholm模,并运用Wodzicki留数构造出了一个共形不变量,且在4维情形,明显地计算出了这个不变量。在[U,1,2]中,Ugalde给出了6维情形这个不变量的明显表达,并对一般情形提出了计算方法。在[FGLS]中,Fedosov等对于带边流形也定义了Wodzicki型留数。在本文的第一部分,利用Fedosov等的工作,推广了Connes和Ugalde的工作到带边情形,并在3维时明显地计算了这个留数。
一个代数A上的K-cycles的Chern-Connes特征理论是闭流形上经典Atiyah-Singer指标理论的非交换类似,其在非交换几何中扮演着最基本角色。对Dirac三元组,Chern-Connes特征理论变得更有趣,在一般情况,热核方法不能被应用,而在Dirac情况,我们可以应用热核理论得到更深入的结果,这些结果要比原来的Atiyah-Singer指标理论更广。在这方面,有许多人进行了研究,例如:[CM1],[CH],[Fe]等。而本文的第二部分就是将Freed的奇数维指标定理延拓到非交换框架。
对于带边流形,在[Wu]中,Wu引入了高阶eta不变量,这是经典的Atiyah-Patodi-Singereta不变量的推广,他证明了高阶eta不变量的正则性以及它的变分公式,并由此得到了非交换Atiyah-Patodi-Singer指标定理。在[G2],利用超联络,Getzler给出了非交换Atiyah-Patodi-Singer指标定理的另一个证明,这更加困难。但避免了用循环上同调中的b-B算子,在本文的第三部分,作者将非交换Atiyah-Patodi-Singer指标定理延拓到了等变情况。