近些年，非交换几何这个重要的学科得到了很大的发展，它对几何、拓扑、数论，以及物理都产生了巨大的影响。 在1984年，Wodzicki发现了闭流形上所有经典拟微分算子的代数上的一个迹(现称为Wodzicki留数)，而且差一个倍数，这个迹是唯一的。Wodzick留数在非交换几何中扮演着非常重要的角色，例如：见[C3]，[Ka]，[KW]等。在[C2]中，对于偶数维紧致无边可定向共形流形，Connes构造了一个标准的Fredholm模，并运用Wodzicki留数构造出了一个共形不变量，且在4维情形，明显地计算出了这个不变量。在[U，1，2]中，Ugalde给出了6维情形这个不变量的明显表达，并对一般情形提出了计算方法。在[FGLS]中，Fedosov等对于带边流形也定义了Wodzicki型留数。在本文的第一部分，利用Fedosov等的工作，推广了Connes和Ugalde的工作到带边情形，并在3维时明显地计算了这个留数。 一个代数A上的K-cycles的Chern-Connes特征理论是闭流形上经典Atiyah-Singer指标理论的非交换类似，其在非交换几何中扮演着最基本角色。对Dirac三元组，Chern-Connes特征理论变得更有趣，在一般情况，热核方法不能被应用，而在Dirac情况，我们可以应用热核理论得到更深入的结果，这些结果要比原来的Atiyah-Singer指标理论更广。在这方面，有许多人进行了研究，例如：[CM1]，[CH]，[Fe]等。而本文的第二部分就是将Freed的奇数维指标定理延拓到非交换框架。 对于带边流形，在[Wu]中，Wu引入了高阶eta不变量，这是经典的Atiyah-Patodi-Singereta不变量的推广，他证明了高阶eta不变量的正则性以及它的变分公式，并由此得到了非交换Atiyah-Patodi-Singer指标定理。在[G2]，利用超联络，Getzler给出了非交换Atiyah-Patodi-Singer指标定理的另一个证明，这更加困难。但避免了用循环上同调中的b-B算子，在本文的第三部分，作者将非交换Atiyah-Patodi-Singer指标定理延拓到了等变情况。