本文分别用不同的方法处理了两类拟线性边值问题解的存在性：一类是临界索伯列夫指数p(x)-Laplace算子解的存在性和多重性；另一类是三明治对在拟线性问题中的应用.首先,通过变分方法以及p(x)-Laplace算子的特征值问题来研究关于临界索伯列夫指数拟线性边值问题的多解性.在对称性存在的条件下,由对称山路定理,来研究p(x)-Laplacian狄利克雷问题的解的存在性和多重性.其次,随着变分法的发展,对很多方程来说,实际上它们的解是相应泛函的临界点.若一泛函I是半有界的,我们可以找到一Palais-Smale(PS)序列若它们有收敛子列,即I满足(PS)条件,则产生临界点.否则,对非有界泛函而言,没有明确的方法来寻找它们的临界点Martin Schechter和Kanishka Perera用各种各样的三明治对发明了一些方法来处理类似的情形.例如,定制的三明治对、环绕三明治对等等.然而,怎样将这些方法运用到拟线性问题上呢?这里,我们将用三明治对解决p-Laplacian的边值问题.根据内容本文分为以下三章：第一章概述了一些本专业的基本知识及相关的理论渊源.第二章考虑临界索伯列夫指数p(x)-Laplace算子的多解性,介绍了p(x)-Laplacian的特征值问题,变化指数的Lebesque和Soboleu空间的某些重要结论.特别地,证明了一个在本文中起重要作用的结论：变化指数临界情形的一个嵌入定理.问题形式如下：其中为带有光滑边界的有界区域为Log-Holder连续函数,λ为大于等于1的参数.非线性项为卡氏函数,满足并且在后面某些具体假设下是次临界的扰动项.第三章着重介绍了三明治对在拟线性问题中的应用.设为有界区域,考虑下列拟线性边值问题f为Ω×R上的卡氏函数,令且g满足次临界增长条件.