本文由三部分组成: 第一部分研究广义Fisher方程波前解的渐近稳定性。将经典的谱分析方法和半群方法相结合,我们分别得到了具有临界和非临界波速的行波解在加权空间里的局部渐近指数稳定性。在此基础上,利用比较原理,证明了具有临界波速的行波解在指数加权空间的全局渐近稳定性。进一步,将Evans函数方法、适当的空间分解、半群方法和经典的谱分析方法相结合,我们分别得到了具有临界和非临界波速的行波解在多项式加权空间里的局部渐近代数稳定性。在研究具有非临界波速的行波解的稳定性时,由于行波在+∞以较慢的代数率衰减,这导致在研究线性化算子的本征值问题时,不能直接根据经典的常微分方程的渐近理论确定本征值问题的解在+∞的渐近行为,以致无法定义Evans函数。通过利用更一般的常微分方程的渐近理论,我们得到了对本征值问题的解在+∞的渐近行为的细致刻画。基于此,我们可以定义Evans函数,并证明此处构造的Evans函数同样具有解析性,且其零点仍对应线性化算子的本征值,这表明我们将Evans函数的定义推广到了更一般的情形。在研究具有临界波速的行波解的稳定性时,我们验证Evans函数D(λ)具有某些重要性质,其在线性化算子的本质谱外不为零,尤其在原点处:D(0)=0,但D_λ(0)≠0,这对进行适当的空间分解及半群估计是非常有用的。 第二部分研究一类粘性平衡律方程的行波解的渐近稳定性。首先,利用谱分析的方法、比较原理,及ω-极限集的性质,我们证明了一般粘性平衡律方程的连接鞍点的行波解的全局渐近指数稳定性,此结果推广了经典的反应扩散方程鞍鞍波的全局稳定性结果。其次,我们研究了一类退化的粘性平衡律方程行波解的存在性和稳定性。利用相平面分析法,我们得到了其波前解的存在性。在此基础上,利用Evans函数方法、半群方法和谱分析的方法,与第一部分类似,我们分别得到其行波解在指数加权空间和多项式加权空间里的局部渐近稳定性。 第三部分研究一类自催化化学反应方程组的行波解的稳定性。利用巧妙的谱分析和半群理论,我们得到了扩散系数d=1时具有临界波速和非临界波速的行波在适当加权空间里的局部渐近指数稳定性;另外,我们还初步得到了扩散系数d≠1时线性化算子的谱性质。