以前的研究都是在固定β时，在同一个动力系统中研究相关性质，由于χ∈[0，1]的β展式强烈的依赖于β，因而当β变化时，χ的展式也会相应的变化.于是这就引出了考虑同一点在不同β展式下的性质.同时，由于1的展式在β展式的研究中有重要的地位，这就促进考虑不同β下1的展式，具体的研究如下集合的性质:{β>1:1的β展式满足某种性质}.　　Schmeling的工作，一个基本的问题是柱集的简单刻画，Schmeling研究柱集长度时，是针对他研究问题的特殊情况刻画柱集长度的.我们认为它有一定的局限性.现在我们对它进行一般的刻画，探讨集合非空时，有什么性质？它的长度又是多少呢？本篇文章就是对这些问题的简单回答.　　本文主要研究在β动力系统([0，1]，Tβ)中，一些重要的基本性质，旨在为更深层次的研究做铺垫．文章首先介绍的是问题的研究现状和研究背景，其次探讨了两个特殊的数字1和β的β-展式，并讨论一些有关β-展式的基本性质和基本结论.再次由β-展式的概念引入参数空间中自允许词的概念，并介绍自允许词的一些相关结论；最后运用自允许词的相关结论探究参数空间中柱集长度及其分布性质.