本文主要针对二维区域上间断扩散系数界面问题,研究了在非贴体三角形网格上基于Crouzeix-Raviart元部分惩罚浸入有限元（PIFE）方法和贴体三角形网格上局部间断Galerkin （LDG）方法.同时,为了保持间断Galerkin（DG）方法可分单元计算的优势,减轻显式时间离散对时间步长的严格限制(Δt=O（h（h2min））,我们研究了隐式积分因子（IIF）方法,显著提高了计算效率.本文内容主要分为两大部分.第一部分,在非贴体三角形网格上,给出了求解二阶椭圆界面问题的PIFE方法.首先,在有界面线穿过的界面单元上,构造了满足界面跳跃条件的浸入有限元（IFE）空间,并研究了空间性质；然后,给出了基于对称,非对称以及不完全内部惩罚间断Galerikin （IPDG）的三种PIFE格式,证明了格式解的存在唯一性,并给出了最优能量模误差估计；最后,分别计算了扩散系数是分片常数和对称正定矩阵的算例,验证了以上三种PIFE格式的有效性及最优收敛性.第二部分,在贴体三角形网格上,针对齐次与非齐次抛物界面问题采用LDG方法进行空间离散,不仅得到数值解,还得到流的数值逼近.这一部分我们分两步进行研究.第一步,对齐次和非齐次抛物界面问题进行LDG空间离散,分析了LDG半离散格式的稳定性,证明其先验误差估计.借助显式时间离散,数值验证了LDG方法求解界面问题的空间收敛精度,解和流分别是最优阶和次优阶.这里,可以看到LDG方法求解非齐次界面问题十分自然,只需要将非齐次界面跳跃条件强加在数值通量中,格式本身形式和齐次情形相同,无论分析还是程序都可归于齐次框架,无需进行特殊处理.第二步,考虑更为有效的时间离散方法.我们将二阶IIF方法与LDG方法相结合（ⅡF-LDG）,应用于求解不含界面的反应扩散系统,以验证方法的有效性及其优势.方法在得到数值解的同时,也得到了流的数值逼近；发挥了DG方法分单元计算的优势,不必求解大型代数方程组,且可使用较大时间步长（At=O（hmin））,从而节约了计算时间.之后,将这种ⅡF-LDG方法应用于求解二阶抛物界面问题,给出其全离散格式,并分别针对间断常量扩散系数与非线性系数两种情形,数值验证了其有效性和空间收敛性.另外,将计算所用CPU时间与二阶显式Runge-Kuttta时间离散下的结果对比,表明IIF-LDG方法确实缩短了计算时间,提高了计算效率.