【摘 要】
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为了刻画自然界中一些具有记忆性和不确定性的演变系统,记忆型随机方程模型被建立并已成为近年来的研究热点.与非记忆型随机方程明显不同的是,记忆型随机方程的解不再是Markov过程.常见的记忆型随机方程主要包括:随机Volterra积分方程、随机Volterra积分微分方程、随机分数阶微分方程、随机分数阶积分微分方程、随机延迟微分方程等.本文对其中的几类方程展开了如下研究:在第二章,针对带正则核的随机分
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为了刻画自然界中一些具有记忆性和不确定性的演变系统,记忆型随机方程模型被建立并已成为近年来的研究热点.与非记忆型随机方程明显不同的是,记忆型随机方程的解不再是Markov过程.常见的记忆型随机方程主要包括:随机Volterra积分方程、随机Volterra积分微分方程、随机分数阶微分方程、随机分数阶积分微分方程、随机延迟微分方程等.本文对其中的几类方程展开了如下研究:在第二章,针对带正则核的随机分数阶积分微分方程,建立了与随机Volterra积分方程之间的联系,并借助此联系分析了随机分数阶积分微分方程的适定性以及Euler–Maruyama（EM）方法的强收敛性.具体地,在非Lipschitz条件和线性增长条件下,建立了随机分数阶积分微分方程解析解的存在唯一性和关于初始值的连续依赖性以及EM解的强收敛性.进一步,当非Lipschitz条件替换为全局Lipschitz条件时,还获得了EM方法的均方收敛速度.特别地,当Caputo分数导数的阶数α∈(2/1,1]时,EM方法可以达到强一阶超收敛.在第三章,针对带Abel型弱奇异核的随机分数阶积分微分方程,在局部Lipschitz连续和线性增长的条件下,建立了非线性模型方程的适定性以及EM方法的强收敛性.进一步,当局部Lipschitz条件替换为全局Lipschitz条件时,还获得了EM方法的均方收敛速度.特别地,当Caputo分数导数退化到整数阶导数时,EM方法可以达到强一阶超收敛,它实际上改进了文献[J.Comput.Appl.Math.383（2021）113156]得到的相应结果.在第四章,针对Lévy噪声驱动的带双重弱奇异核的随机Volterra积分方程,在全局Lipschitz连续和线性增长的条件下,建立了解析解的存在唯一性定理并得到了EM方法的均方收敛速度.此外,我们还利用“指数和”逼近构造了一类快速EM方法,它可以显著地提高EM方法原有的计算效率.在第五章,针对分数噪声驱动的过阻尼广义线性Langevin方程,研究EM方法的强收敛性,并解决了文献[ESAIM Math.Model.Numer.Anal.54（2020）431–463]在线性情形下遗留的问题.特别地,我们得到的结果细致地刻画了EM方法的均方收敛阶与奇异核的次数和分数Brownian运动的Hurst指数之间的依赖关系.在第六章,针对随机延迟微分方程,利用Wong–Zakai逼近构造了间断有限元（DG）方法并进行数值求解.在漂移项系数满足全局Lipschitz连续和线性增长的条件下,建立了DG方法求解加性噪声驱动情形时的强收敛性.当漂移项系数满足单边Lipschitz条件时,建立了DG方法求解加性噪声驱动情形时的稳定性.
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