【摘 要】
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最优输运理论提供了一个研究概率分布演化的框架,与Riemann几何、偏微分方程存在重要联系,并且近年来引发了流体力学、城市网络、机器学习等多个领域的新应用.其中Wasserstein空间的度量几何起到了关键作用,也是最优输运的几何基础.本文考虑非紧、局部紧Polish长度空间X上的Wasserstein空间Pp（X）,即底空间X上p阶矩有限的Borel概率测度集,并赋予Wasserstein距离W
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最优输运理论提供了一个研究概率分布演化的框架,与Riemann几何、偏微分方程存在重要联系,并且近年来引发了流体力学、城市网络、机器学习等多个领域的新应用.其中Wasserstein空间的度量几何起到了关键作用,也是最优输运的几何基础.本文考虑非紧、局部紧Polish长度空间X上的Wasserstein空间Pp（X）,即底空间X上p阶矩有限的Borel概率测度集,并赋予Wasserstein距离Wp.不同于Riemann流形、Hadamard空间,它既非局部紧空间,也不具备良好的微分结构,导致一些常规研究方法难以施展.而类距离函数的建立只需要度量结构,被证明能够一定程度替代程函方程粘性解的作用.这篇论文探讨其中两类,即Busemann函数和点测度序列决定的极限函数.借助最优输运位移插值的理论,Pp（X）中的射线可被刻画成质量集中在底空间射线集上的概率测度.在经典的全局几何理论中,余射线是一列特定测地线的极限,与类距离函数密不可分.为克服空间的非局部紧性,本文使用新方法证明对Pp（X）中任意给定的初始点总存在余射线.序列关于Wp收敛,等价于同时满足弱收敛及一致可积条件.首先,利用连续曲线空间上的胎紧性判别准则和Prokhorov定理获得弱收敛性.另一方面,按照长度关系,将X中的样本归结为若干类型分别做估计,从而推出整体的一致可积性.上述提及的两类类距离函数在Wasserstein空间上都是1-Lipschitz的,这给出了在测地线上取值的变化速率上限.而沿着余射线,函数的取值保持单位速率递减.在这种弱的意义上说,余射线是相应类距离函数的负梯度曲线.当额外假设底空间是无分岔空间时,受弱KAM理论的启发,本文发现负梯度曲线的任意非平凡子射线都是唯一的余射线.通过选取子射线序列逼近自身,最终证明了负梯度曲线的方程是余射线的等价刻画.
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