本文研究了图像重映射、最近多项式及曲线求交三个方面的内容.随着各式各样的显示设备,如计算机、高清电视、手机、个人数字助理等的不断出现,如何改变图像的尺寸和宽高比以适应不同的显示屏幕是一个近年来的研究热点问题;由于多项式系数的扰动可能会破坏它原有的一些性质,因此如何找到一个离系数带扰动的多项式“距离”最近的多项式来恢复这些性质是一项很有意义的工作；求交问题是计算几何、计算机辅助几何设计、几何造型和数控加工的一个基本问题,其结果的好坏直接影响到系统的稳定性和实用性,因此如何设计一个准确、快速和鲁棒的求交算法是一个重要的研究课题.本文共分六章,主要内容如下：第一章依次介绍了图像重映射、最近多项式及曲线求交的研究背景和存在的问题,阐述了本文的研究动机,在本章最后介绍了本文的主要工作.第二章将重要度图分为自底而上和自顶而下两种自动检测方法,将图像重映射分为离散方法、连续方法和混合方法三种方法,并对它们进行了简要的综述,然后介绍了最近多项式的相关工作.第三章提出了一种自适应缩放控制的图像重映射方法.考虑到重要物体的不同区域应该具有相同的视觉重要度,本文首先利用基于梯度图的导引滤波技术获得了一个与原始图像结构保持一致的重要度图.然后,引入了一个形状参数来保持图像中所有重要物体的宽高比和空间分布,通过平滑底层网格的Laplacian坐标来保持图像的几何结构特征.最后,本文提出的重映射方法归结为求解一个带线性约束条件的二次规划问题.实验结果表明,本文方法可以保持图像的重要内容和儿何结构,能够达到预期的效果.第四章提出了一种最近复系数多项式的计算方法.给定一元复系数多项式f(z)和闭域D,其中f在D中没有零点和D的边界曲线可以表示成分段有理函数,本文研究了如何计算一个一元复系数多项式.f(z)使得f(z)在D中至少有一个零点,并且||f-f||=min本文首先证明了最近复系数多项式的存在性,给出了最近复系数多项式的一条重要性质,即非零最近复系数多项式在D中的零点只能落在D的边界上.然后,本文分别采用了||·||p、||·||p,ω和||·||mix三种不同的范数来定义两个多项式之间的距离||·||,并针对D只包含一个点的情形,构造性地给出了最近复系数多项式f(z)和最近距离||f-f||的显式表达式；针对D为一般复闭域的情形,以||·||=||·||∞为例给出了计算最近复系数多项式的具体思想,同时提出了两种数值方法对其加以实现,其中第一种是基于数值比较的方法,第二种是基于符号比较的方法.最后,通过两个数值例子表明本文方法的有效性和可行性.第五章推广了第四章的内容.基于对第四章所采用的三种范数的分析,本文定义了两种更一般的范数,即||·||p, P和||·||p,p1,p2,证明了它们的对偶范数分别是||·||q, P-1和||·||q,q1,q2,并且针对D只包含一个点的情形给出了最近复系数多项式和最近距离在这两种范数下的显式表达式.第六章采用了同伦算法来计算两条平面有理参数曲线的交点.本文首先将两条平面有理参数曲线的求交问题转化为多项式方程组的求根问题,然后分别应用两种同伦算法,即多胞体同伦(PH)和线性同伦(LH),和Ehrlich-Aberth算法(EA)来求解该多项式方程组.通过大量的数值例子,本文首次说明了同伦算法在曲线求交方面具有很好的计算准确性、高效性和鲁棒性.最后,本文还给出了同伦算法在曲面求交等方面的应用.