本博士论文的研究内容隶属于几何分析中的凸体理论（简称凸几何或凸几何分析）,该理论的核心内容是Brunn-Minkowski理论（又称为混合体积理论）.本文主要致力于研究概率测度在凸几何分析中的应用,这是该领域研究的热点问题之一,本文主要涉及关于概率测度的质心不等式,关于Gaussian测度的Shephard问题,关于凸体不等式的函数化以及关于单调凸序列的Erd（?）s-Szekeres定理等问题的研究.质心体是凸几何中一个非常重要的几何概念,在信息论,分析学等领域有广泛的应用,而关于质心体的质心不等式是应用最广泛的仿射等周不等式之一.在本文第二章,我们首先给出了关于概率测度的广义（Orlicz）质心体的概念,说明新定义的广义质心体是一个凸体,然后用强大数定理与极限逼近的方法建立了相应的的质心不等式.当取特殊的密度函数和Orlicz函数时,广义质心体就变为经典的质心体,Lp质心体,Orlicz质心体以及平均带体等.特别的,本文结果统一了质心体与平均带体的定义,它们都是广义质心体的特殊情形.在第三章中,我们给出了关于概率测度的广义（Orlicz）质心体的非对称版本,并建立了相应的非对称质心不等式,方法依然是依赖于Paouris和Pivovarov等人的概率以及极限逼近的方法.当取特殊的密度函数和Orlicz函数时,一方面可以将非对称的经典（Lp,Orlicz）质心不等式推广到紧集上,另一方面还可以得到一些特殊的非对称凸体.对凸体的截面和投影的几何性质的研究具有非常重要的意义,是凸几何领域研究的热点问题之一,而与之相关的就是著名的Busemann-Petty问题和Shephard问题.在第四章中,我们讨论了关于Gaussian测度的Shephard问题,给出了当n≥3时Gaussian型Shephard问题解的一个反例,从而说明Gaussian型Shephard问题在n≥3时不成立,这与经典的Shephard问题是一致的.在第五章中,我们研究了C+(Sn-1)上的函数的一些性质和不等式.首先我们定义函数f的体积和表面积即为与f相关的Aleksandrov体的体积与表面积,得到函数f的表面积公式.接着通过讨论函数f与其极对偶函数f°的关系,建立关于函数的Blaschke-Santal（?）型不等式.在第六章中,我们研究了单调凸序列的Erd（?）s-Szekeres定理,得到满足在任意n个实数组成的序列中选出r个元素构成单调凸子列或选出s个元素构成单调凹子列的n=n（r,s）的最小值.