本文考虑了三类扩散系统的行波解问题.主要内容分三部分阐述.第一部考虑局部扩散方程的行波解存在性.首先考虑具有时空时滞局部扩散方程的行波解的存在性.我们采用了新的单调迭代（以下解作为初始迭代）结合上下解方法建立了连接平凡与非平凡平衡点的行波解的存在性.并进一步把理论很好的运用到各类核函数的非单调的Nicholson苍蝇模型，对这模型主要困难就是上下解的构造，并得到在长时间该行波解的指数渐近性.从而解决了许多学者在文章中提到的没解决的问题.接着，研究了两个种群的离散时滞的竞争反应扩散方程，运用[62]中的结果得到了连接两种群灭绝和两种群共存之间的行波解的存在性并表明该波在无穷远处以指数衰减。　　 在第二部分我们研究非局部扩散方程的行波解存在性、渐近性.首先考虑了单稳的非局部扩散方程不仅给出行波解存在性而且得到任意行波解的长时间指数衰减的渐近行为.接下来考虑一般具有时滞的非局部扩散方程根据反应项满足弱拟单调条件或弱指数拟单调条件采用交互迭代和Schauder不动点定理结合上下解的方法给出了行波解存在性.并很好的运用到多个时滞的两种群非局部扩散竞争模型.然后，考虑不具有拟单调条件非局部扩散方程我们通过构造两个具有拟单调条件的辅助方程和不动点定理来确定行波解的存在性。　　 第三部分主要研究时滞格上动力系统的行波解.我们考虑了格上有限或无穷分布时滞的神经网络（DCNN）模型并得到行波解的存在性和不存在性，其研究方法就是结合积分方程的上下解利用不动点定理的技巧.这结果包含和改进了前人的一些结果。