【摘 要】
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孤立子波的非线性扩散现象常用非线性薛定谔（NLS）方程来描述,NLS方程是量子动力学及非线性光学中一类重要方程.高维NLS方程中由于非线性项的影响使其多数情况下难以得到解析解,于是,近年来NLS方程的数值研究成为计算领域里一个国际热点问题,目前已有多种网格类方法（如有限差分和有限元法等）被成功应用于NLS方程的求解.然而,一种能弥补网格类方法缺点的纯无网格法,在无界区域上NLS方程的数值求解方面还
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孤立子波的非线性扩散现象常用非线性薛定谔（NLS）方程来描述,NLS方程是量子动力学及非线性光学中一类重要方程.高维NLS方程中由于非线性项的影响使其多数情况下难以得到解析解,于是,近年来NLS方程的数值研究成为计算领域里一个国际热点问题,目前已有多种网格类方法（如有限差分和有限元法等）被成功应用于NLS方程的求解.然而,一种能弥补网格类方法缺点的纯无网格法,在无界区域上NLS方程的数值求解方面还处于初步发展阶段.基于上述分析,本文引入时间分裂和局部一维（降维）思想,将无网格FPM（Finite Pointset Method）与吸收边界PML（Perfectly Matched Layer）耦合,对无界区域上高维NLS方程进行研究.研究中首先利用时间分裂将NLS方程分为带非线性项和线性导数两个方程,并引入局部一维思想将线性导数方程分解成沿不同方向的多个微分方程;其次,运用吸收边界中的PML方法处理无穷区域及边界;再次,采用基于Taylor展开及最小二乘法思想的FPM对上述线性导数方程进行离散;最后,将上述降维FPM耦合PML法对无穷区域上非线性孤立波传播过程进行数值研究.本文主要工作如下:（1）为降低计算复杂度和提高数值稳定性,引入时间分裂和局部一维思想,将非线性薛定谔方程分解为多个微分方程,得到SS-LOFPM法,并通过带有解析解的算例对方法的误差和数值收敛性进行分析.（2）为准确有效的处理无穷区域,运用区域截断和吸收边界法,结合PML技术处理无穷边界,拓展上述SS-LOFPM得到一种能够准确求解高维NLS方程的SS-LOFPM-PML法,并通过二维/三维基准算例验证了耦合方法的有效性和优点.数值结果表明提出的方法能够准确捕捉高维下孤立子波的非线性扩散过程.（3）为进一步体现提出耦合方法的计算能力,运用上述提出的耦合法对无解析解无穷区域上二维/三维孤立波的非线性量子涡旋过程进行数值预测,并与其他结果作对比,结果表明提出的方法预测高维下NLS方程描述的量子涡旋过程是可靠的.
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