线性补问题(LCP)理论与方法是一个应用性很强的数学分支，它所研究的问题是一个线性不等式系统的解。线性补问题与运筹学、计算科学、经济学、工程学(化学、土木、电气、工业和机械工程)都有广泛的联系。线性补问题起源于二次规划的一阶最优条件问题，因此这两个问题在一定条件下等价。　　 本文研究的是将线性补问题的解法应用到美式看跌期权定价问题中，美式看跌期权定价模型经过时间和空间上的有限差分方法离散后得到了一个线性补问题。一般的线性补问题有很多解法，有并行法、枚举法、全局最优法、选主元法、多项式法、内点法等，但是美式看跌期权定价的线性补问题有一定的边界条件限制，并不是所有的方法都适应。本文只介绍了直接法和迭代法，并用数值实验实践，将现行的计算代码与线性补问题结合还有很多的工作要做。　　 美式看跌期权定价问题得到的一个线性补问题是一般线性补问题的特殊情况。本文介绍了美式看跌期权定价线性补问题的直接法和投影迭代法两种方法，直接法的思想就是在LU分解法过程中加上一个向后投影回代过程。投影迭代法(P-SOR)的思想就是在一般线性系统SOR迭代法的基础上加个对负数解的更新过程。　　 有限差分格点离散法的研究及结论很多，本文在前人工作的基础上，选取了适合美式期权定价问题的有限差分格点法，并将格点离散法扩展创新到三层次的迭代，且讨论了误差性和稳定性。本文对直接法和投影迭代法进行了详细的介绍，从一般线性补问题这种思想的介绍到美式期权线性补问题中的应用，加上对投影迭代法收敛性、稳定性、误差性的理论详细分析，形成了一套线性补定价美式看跌期权的系统性理论。最后做了多个数值实验得到了一系列结论。本文的创新之处在于整理了矩阵类，把原来的线性补唯一解存在的条件为正定阵放宽到本文所得出的LCP有唯一解的条件的结论。进一步到美式看跌期权定价线性补问题投影迭代法收敛性的矩阵条件及收敛时矩阵分裂必须满足的条件。并尝试用数值实验去验证，由此得到了很好的理论和数值结论。　　 本文的结构分为五章，第二章介绍了单资产美式看跌期权定价模型。第三章介绍了有限差分法，并将这些有限差分法用到单资产定价模型上，同时理论上分析了各有限差分法的误差性和稳定性。第四章介绍了一般线性补问题和美式看跌期权定价的线性补问题，重点介绍了美式看跌期权线性补问题的两种方法，在介绍投影迭代法的时候还详细分析了误差性、稳定性及收敛性分析。从而得到当矩阵分裂时满足一定的性质，则此时本文介绍的迭代算法收敛的二个结论。一般线性补问题中介绍了选主元直接法和迭代法，同时介绍了线性补问题解的存在唯一性与矩阵类的关系。第五章做了一系列数值实验，得到了一系列结论。主要做了四个数值实验，分别是有关各个不同的有限差分方法的收敛性和收敛速度的比较，线性补问题方法的收敛性和收敛速度的数值比较，美式看跌期权定价的有效边界等，投影SOR迭代法中最优松弛因子选取方法研究及最优松弛因子的选择和参数格点的选择有没有关系。从而得到在格点多的情况下迎风格式比crank-nicolson格式收敛速度要快，直接分解法比投影SOR迭代法的收敛速度要快，且两个方法间存在微小的误差。直接法随格点呈计算时间线性递增，但投影迭代法呈二次规划递增。时间和空间格点越多，算出的解的时间就越长收敛速度就越慢等结论。本文的创新结论在于最优w的选取虽然是越接近2迭代步长越好，但是收敛速度也越慢，且最优松弛因子的选择和参数格点没有关系。因此综合来看最优w的选择为(1，2)之间的适当选择，且此时投影迭代法收敛是必需满足矩阵分裂的一定条件的，本文将详细叙述。