q-组合恒等式

来源 :南开大学 | 被引量 : 1次 | 上传用户:hansenhuang1983
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基本超几何级数最早是在1748年由欧拉(Euler)开始研究。但是在一百多年之后当海因(Heine)得到了对应于高斯(Gauss)的2F1超几何级数的2φ1的形式,基本超几何级数(又称q-级数)才渐渐形成独立的研究方向。十九世纪到二十世纪,L.Rogers,F.H.Jackson,A.C.Dixon,J.Dougall,L.Saalschütz,F.J.W.Whipple,G.N.Watson,W.N.Bailey和J.A.Daum等数学家们的研究工作对基本超几何级数的发展起到重要作用。近年来,基本超几何级数已经开始应用到纯数学和应用数学以及其它学科中。G.E.Andrews和N.J.Fine更是将基本超几何级数应用到数论、微分方程、李代数、组合、统计和物理等学科领域。 本文主要内容是关于q-正整数和q-对偶序列的研究以及它们在基本超几何级数中的应用。首先,我们在第一章简要介绍超几何级数和基本超几何级数的发展历程。为了便于展开本文的主要结果,文中所用到的基本概念、经典定义以及基本恒等式和常用的恒等式变换也在第一章里列出。 在第二章,我们先简要介绍M.Lassalte提出的一类新的正整数。q-正整数是指一个q-多项式关于q的系数都是正整数。我们主要利用q-二项式定理和Sears的两个关于3φ2的变换公式,得到两类新的q-正整数。这些q-正整数可以扩展为多个q-二项式乘积展开式的系数的一种特殊情况。 对偶序列及其多项式的性质已经在孙智伟教授的论文中进行了研究。Kaneko,Momiyama和Wu等人也曾给出了关于贝努利(Bernoulli)数和贝努利多项式的递归关系和对称关系式。在第三章里我们对以上结果进行q-模拟,得到q-对偶序列及其在基本超几何级数上的应用,并且利用Carlitz和Al-Salam对q-贝努利数和q-贝努利多项式的定义得到q-贝努利数和q-贝努利多项式的相应的关系式。 另外,为了方便读者,在附录里我们列出了本文所使用的一些重要的恒等式和变换公式。
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