【摘 要】
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本文研究下列一类奇异非线性椭圆型方程的Dirichlet问题-△u=q(x)9(u)+p(x)f(u),u>0,x∈Ω,u|(?)Ω=0,(1.1)解的存在性、唯一解和解的边界行为.这里,Ω是RN中的有界光滑区域.q,p满足(A1)对某一α∈(0,1),q,p∈Clocα(Ω),q在Ω中为正,p在Ω中非负;(△2) Poisson问题-△v1=q(x),v1>0,z∈Ω,v1|(?)Ω=0,和-△
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本文研究下列一类奇异非线性椭圆型方程的Dirichlet问题-△u=q(x)9(u)+p(x)f(u),u>0,x∈Ω,u|(?)Ω=0,(1.1)解的存在性、唯一解和解的边界行为.这里,Ω是RN中的有界光滑区域.q,p满足(A1)对某一α∈(0,1),q,p∈Clocα(Ω),q在Ω中为正,p在Ω中非负;(△2) Poisson问题-△v1=q(x),v1>0,z∈Ω,v1|(?)Ω=0,和-△v2=p(x),v2>0,z∈Ω,v2|(?)Ω=0,分别存在唯一解v1,v2∈C2+α(Ω)∩C(Ω).g,f满足(g1)g∈C1((0,∞),(0,∞)),且g在(0,∞)上是单调递减的;(f1)f∈Clocα([0,∞),[0,∞)),f在[0,∞)上单调递增(或者(f01)f∈C1((0,∞),(0,∞)),f在(0,∞)上单调递减的);(f2)存在s0>0,使得(f(s))/(s+s0)在(0,∞)上单调递减的,且本文的主要结果是:定理1在假设条件(g1),(f1)(或者(f01))和(f2)下,问题(1.1)存在唯一解u∈C2+α(Ω)∩C(Ω)的充分必要条件是(A1)和(A2)成立.下面关于解的边界行为,是在定理1解的存在唯一性的基础上得到的.定理2如果f满足(f1),g满足(g2)存在Cg>0,使得q满足(Q1)其中其中μ1=μ2=…=μj-1=1,μj>1,μi∈R对于j+1≤i≤m.则问题(1.1)的唯一解u满足这里(?)1是问题的解,且(q1)/(μj-1),ξ2=(q2)/(μj-1)特别的,(ⅰ)若Gg=1,可知u满足(ⅱ)若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里ξ01=(q0)/(q0)/(μj-1).定理3若f满足(f1),q满足(Q2)且Gk+2Cg>2,则问题(1.1)的唯一解u满足这里其中K∈(?),(?)代表C1(0,δ0)∩L1(0,δ0)(δ0)中的单调正函数,且其满足ξ3=(q1)/(2(Ck+2Cg-2)),ξ4=(q2)/(2(Ck+2Cg-2))特别的,(ⅰ)若Gg=1,可知u满足(ⅱ)若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里ξ02=(q0)/(2(Ck+2Cg-2))定理4若f满足(f01)和(f3)存在Cf≠0,使得p满足(P1)若Ck+2Cg>2,Ck+2Cf>2,(ⅰ]若则问题(1.1)的唯一解u满足这里(ⅱ)若则问题(1.1)的唯一解u满足这里(?)2满足且ξ3=(p1+q0c0)/(2(Ck+2Cf-2)), ξ4=(p2+q0c0)/(2(Ck+2Cf-2)).
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