【摘 要】
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本文研究下列一类奇异非线性椭圆型方程的Dirichlet问题-△u=q（x）9（u）+p（x）f（u）,u>0,x∈Ω,u|（?）Ω=0,（1.1）解的存在性、唯一解和解的边界行为.这里,Ω是RN中的有界光滑区域.q,p满足（A1）对某一α∈（0,1）,q,p∈Clocα（Ω）,q在Ω中为正,p在Ω中非负；（△2） Poisson问题-△v1=q（x）,v1>0,z∈Ω,v1|（?）Ω=0,和-△
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本文研究下列一类奇异非线性椭圆型方程的Dirichlet问题-△u=q（x）9（u）+p（x）f（u）,u>0,x∈Ω,u|（?）Ω=0,（1.1）解的存在性、唯一解和解的边界行为.这里,Ω是RN中的有界光滑区域.q,p满足（A1）对某一α∈（0,1）,q,p∈Clocα（Ω）,q在Ω中为正,p在Ω中非负；（△2） Poisson问题-△v1=q（x）,v1>0,z∈Ω,v1|（?）Ω=0,和-△v2=p（x）,v2>0,z∈Ω,v2|（?）Ω=0,分别存在唯一解v1,v2∈C2+α（Ω）∩C（Ω）.g,f满足（g1）g∈C1（（0,∞）,（0,∞））,且g在（0,∞）上是单调递减的；（f1）f∈Clocα（[0,∞）,[0,∞)),f在[0,∞)上单调递增（或者（f01）f∈C1（（0,∞）,（0,∞））,f在（0,∞）上单调递减的）；（f2）存在s0>0,使得（f（s））/（s+s0）在（0,∞）上单调递减的,且本文的主要结果是：定理1在假设条件（g1）,（f1）（或者（f01））和（f2）下,问题（1.1）存在唯一解u∈C2+α（Ω）∩C（Ω）的充分必要条件是（A1）和（A2）成立.下面关于解的边界行为,是在定理1解的存在唯一性的基础上得到的.定理2如果f满足（f1）,g满足（g2）存在Cg>0,使得q满足（Q1）其中其中μ1=μ2=…=μj-1=1,μj>1,μi∈R对于j+1≤i≤m.则问题（1.1）的唯一解u满足这里（?）1是问题的解,且（q1）/（μj-1）,ξ2=（q2）/（μj-1）特别的,（ⅰ）若Gg=1,可知u满足（ⅱ）若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里ξ01=（q0）/（q0）/（μj-1）.定理3若f满足（f1）,q满足（Q2）且Gk+2Cg>2,则问题（1.1）的唯一解u满足这里其中K∈（?）,（?）代表C1（0,δ0）∩L1（0,δ0）（δ0）中的单调正函数,且其满足ξ3=（q1）/（2（Ck+2Cg-2））,ξ4=（q2）/（2（Ck+2Cg-2））特别的,（ⅰ）若Gg=1,可知u满足（ⅱ）若Cg<1且q1=q2=q0,可知u满足这里ξ02=（q0）/（2（Ck+2Cg-2））定理4若f满足（f01）和（f3）存在Cf≠0,使得p满足（P1）若Ck+2Cg>2,Ck+2Cf>2,(ⅰ]若则问题（1.1）的唯一解u满足这里（ⅱ）若则问题（1.1）的唯一解u满足这里（?）2满足且ξ3=（p1+q0c0）/（2（Ck+2Cf-2））, ξ4=（p2+q0c0）/（2（Ck+2Cf-2））.
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