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求含参数不等式中参数的取值范围是综合性较强、难度较大且出现频率较高的题刑。本文介绍求不等式中参数变化范围的几种常见方法。
一、利用函数的图象、性质
根据所给的含参不等式,构造函数,并利用函数的性质或图象特征求参数的范围。
例1 当t 0恒成立,试求x的取值范围。
解 设f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2 log2x+1,则关于t的函数y= f(t)的图象是一条直线。
于是t >0等价于
即
∴
例2 已知不等式
.
解 構造函数
∵
∴
又∵ ,
∴
要使 对于大于1的一切自然数 恒成立,必须有 <
∴ <-1,∴
二、利用参数分离法
将参不等式中的参数与变量分离开来,通过研究变量范围来确定参数取值范围。
例3 设关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
解 原不等式可变形为:
即
于是当且仅当 大于4-
当且仅当
.
∴
三、利用变量代换
通过变量代换,将原不等式转化为一个新变元的含参不等式,使参数与变量间的关系更加明显,从而找到解决问题的途径。
例4 若实数
.
解 由题意可设
则不等式 恒成立.
由于
.
四、利用数形结合
用数形结合的方法求参数不等式中的参数范围,可以使抽象问题变得直观,思路和方法可以从图形中找到.
例5 若不等式
.
解 设
则 的图象是以(2,0)为圆心,2为半径的上半圆, 的图象为直线.
由图可知,当直线 的斜率为1,即 时,原不等式解集为 .
五、利用分类讨论
按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类,然后逐一进行讨论,可以使问题得到解决,如例3可另解如下:
原不等式可变形为 >0.
[-1,1].
于是问题转化为当 [-1,1]时 0恒成立,求 范围.
其对称轴为 按 与区间[-1,1]的相对位置分类讨论:
(1)当
(2)当-1≤ ≤1,即-2≤ ≤2时, >0, ;
(3)当 >1,即 >2时, >0, .
综上所述, 时不等式恒成立.
(作者单位:无锡机电高等职业技术学校)
一、利用函数的图象、性质
根据所给的含参不等式,构造函数,并利用函数的性质或图象特征求参数的范围。
例1 当t 0恒成立,试求x的取值范围。
解 设f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2 log2x+1,则关于t的函数y= f(t)的图象是一条直线。
于是t >0等价于
即
∴
例2 已知不等式
.
解 構造函数
∵
∴
又∵ ,
∴
要使 对于大于1的一切自然数 恒成立,必须有 <
∴ <-1,∴
二、利用参数分离法
将参不等式中的参数与变量分离开来,通过研究变量范围来确定参数取值范围。
例3 设关于 的不等式 恒成立,求实数 的取值范围。
解 原不等式可变形为:
即
于是当且仅当 大于4-
当且仅当
.
∴
三、利用变量代换
通过变量代换,将原不等式转化为一个新变元的含参不等式,使参数与变量间的关系更加明显,从而找到解决问题的途径。
例4 若实数
.
解 由题意可设
则不等式 恒成立.
由于
.
四、利用数形结合
用数形结合的方法求参数不等式中的参数范围,可以使抽象问题变得直观,思路和方法可以从图形中找到.
例5 若不等式
.
解 设
则 的图象是以(2,0)为圆心,2为半径的上半圆, 的图象为直线.
由图可知,当直线 的斜率为1,即 时,原不等式解集为 .
五、利用分类讨论
按所给不等式中参数的本质属性划分不同种类,然后逐一进行讨论,可以使问题得到解决,如例3可另解如下:
原不等式可变形为 >0.
[-1,1].
于是问题转化为当 [-1,1]时 0恒成立,求 范围.
其对称轴为 按 与区间[-1,1]的相对位置分类讨论:
(1)当
(2)当-1≤ ≤1,即-2≤ ≤2时, >0, ;
(3)当 >1,即 >2时, >0, .
综上所述, 时不等式恒成立.
(作者单位:无锡机电高等职业技术学校)