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摘要:高三数学复习与研究专题之一的分类讨论思想在高考中占有的地位越来越重要,本文通过分类讨论的思想训练学生的思维,对提高学生的成绩有重要的作用。
关键词:高中数学分类讨论思想解题
参数广泛地存在于数学的各类问题中,也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准,含参数的问题可分为两种类型。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),去探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论;另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。解决第一种类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和所涉及到的概念,运用的定理、公式、性质以及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。
一、科学合理的分类
把一个集合A分成若干个非空真子集Ai(i=1、2、3…n)(n≥2,n∈N),使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即:
①A1∪A2∪A3∪…∪An=A
②Ai∩Aj=φ(i,j∈N,且i≠j)。
则称对集A进行了一次科学的分类(或称一次逻辑划分)。
科学的分类应满足两个条件:①保证分类不遗漏;②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质,应尽可能减少分类。
二、确定分类标准
在确定讨论的对象后,最困难是确定分类的标准。一般来讲,分类标准的确定通常有三种:
(1)根据数学概念来确定分类标准:
例如,绝对值的定义是:|a|=
所以在解含有绝对值的不等式|log x|+|log (3-x)|≥1时,就必须根据确定log x、log (3-x)正负的x值1和2将定义域(0,3)分成三个区间,即0 例1、已知动点M到原点O的距离为m,到直线L:x=2的距离为n,且m+n=4。
(1)求点M的轨迹方程。
(2)过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P、Q两点,求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。
解:(1)设点M的坐标为(x,y),依题意可得:x2+y2+|x-2|=4。
根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x>2还是x≤2,所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为:
4(x-1)(-1≤x<2)
-12(x-3)(2≤x<3)
解:(2)如图1,由于P、Q的位置变化,弦长|PQ|的表达式不同,故必须分点P、Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=-12(x-3)上,可求得:
从而知当a=或a= 时,|PQ|max=。
(2)根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准。
数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论,在运用它们时,就要分类讨论,分类的依据是公式中的条件。
例如,对数函数y=logax的单调性是分01两种情况给出的,所以在解底数中含有字母的不等式,如logx>-1,就应以底数x>1和01时,>;当0 (3)根据运算的需要确定分类标准。
3 1 显然,应以3、4为标准将a分为14三种情况进行讨论。
loga2x<2logax
(a-1)x2 其中a>0且a≠1。
解:由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,所以应以1为标准进行分类。
(1)当0 x>2
0 时不等式组是否有解关键取决于a+1与2的大小关系,所以应以a+1=2,即a=3为标准进行第二次分类。
①当1 ②当a>3时解集为(2,a+1)。
综上所述:当0 当1 当a>3时,解集为(2, a+1)。
三、分类讨论的方法和步骤
(1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围;
(2)确定分类标准,科学合理分类;
(3)逐类进行讨论,得出各类结果;
(4)归纳各类结论。
例3、等差数列{an}的公差d<0,Sn为前n项之和,若Sp=Sq(p,q∈N,p≠q),试用d、p、q表示Sn的最大值。
略解:由Sp=Sq,p≠q可求得n=-
an≥0
an+1≤0
大。
由an≥0得,n≤;由an+1≤0得,n≥
∴≤n≤;∵n∈N,
∴要以是否为正整数即p+q是奇数还是偶数为标准分两类讨论。
(1)当p+q为偶数时n=,Sn最大且为(Sn)max=-
(2)当p+q为奇数时,n=或n=,Sn最大,且为(Sn)max=
分类讨论的思想是一种重要的解题策略,对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论,如果能结合利用数形结合的思想、函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论,从而达到迅速、准确的解题效果。
例4、解关于x的不等式:3+2x-x2≥a-x。
略解:运用数形结合的思想解题,如图:
在同一坐标系内作出y=3+2x-x2和y=a-x的图像,以L1、L2、L3在y轴上的截距作为分类标准,知:当a≤-1时,-1≤x≤3;
当-1 当3
当a>1+22时,不等式无解。
关键词:高中数学分类讨论思想解题
参数广泛地存在于数学的各类问题中,也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准,含参数的问题可分为两种类型。一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值(或取值范围),去探求命题可能出现的结果,然后归纳出命题的结论;另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。解决第一种类型的参数问题,通常要用“分类讨论”的方法,即根据问题的条件和所涉及到的概念,运用的定理、公式、性质以及运算的需要,图形的位置等进行科学合理的分类,然后逐类分别加以讨论,探求出各自的结果,最后归纳出命题的结论,达到解决问题的目的。它实际上是一种化难为易、化繁为简的解题策略和方法。
一、科学合理的分类
把一个集合A分成若干个非空真子集Ai(i=1、2、3…n)(n≥2,n∈N),使集合A中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。即:
①A1∪A2∪A3∪…∪An=A
②Ai∩Aj=φ(i,j∈N,且i≠j)。
则称对集A进行了一次科学的分类(或称一次逻辑划分)。
科学的分类应满足两个条件:①保证分类不遗漏;②保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质,应尽可能减少分类。
二、确定分类标准
在确定讨论的对象后,最困难是确定分类的标准。一般来讲,分类标准的确定通常有三种:
(1)根据数学概念来确定分类标准:
例如,绝对值的定义是:|a|=
所以在解含有绝对值的不等式|log x|+|log (3-x)|≥1时,就必须根据确定log x、log (3-x)正负的x值1和2将定义域(0,3)分成三个区间,即0
(1)求点M的轨迹方程。
(2)过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹曲线交于P、Q两点,求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。
解:(1)设点M的坐标为(x,y),依题意可得:x2+y2+|x-2|=4。
根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x>2还是x≤2,所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为:
4(x-1)(-1≤x<2)
-12(x-3)(2≤x<3)
解:(2)如图1,由于P、Q的位置变化,弦长|PQ|的表达式不同,故必须分点P、Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=-12(x-3)上,可求得:
从而知当a=或a= 时,|PQ|max=。
(2)根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准。
数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论,在运用它们时,就要分类讨论,分类的依据是公式中的条件。
例如,对数函数y=logax的单调性是分0
3
loga2x<2logax
(a-1)x2
解:由于不等式中均含有参数a,其解的状况均取决于a>1还是a<1,所以应以1为标准进行分类。
(1)当0
0
①当1
综上所述:当0
三、分类讨论的方法和步骤
(1)确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围;
(2)确定分类标准,科学合理分类;
(3)逐类进行讨论,得出各类结果;
(4)归纳各类结论。
例3、等差数列{an}的公差d<0,Sn为前n项之和,若Sp=Sq(p,q∈N,p≠q),试用d、p、q表示Sn的最大值。
略解:由Sp=Sq,p≠q可求得n=-
an≥0
an+1≤0
大。
由an≥0得,n≤;由an+1≤0得,n≥
∴≤n≤;∵n∈N,
∴要以是否为正整数即p+q是奇数还是偶数为标准分两类讨论。
(1)当p+q为偶数时n=,Sn最大且为(Sn)max=-
(2)当p+q为奇数时,n=或n=,Sn最大,且为(Sn)max=
分类讨论的思想是一种重要的解题策略,对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论,如果能结合利用数形结合的思想、函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论,从而达到迅速、准确的解题效果。
例4、解关于x的不等式:3+2x-x2≥a-x。
略解:运用数形结合的思想解题,如图:
在同一坐标系内作出y=3+2x-x2和y=a-x的图像,以L1、L2、L3在y轴上的截距作为分类标准,知:当a≤-1时,-1≤x≤3;
当-1
当a>1+22时,不等式无解。