论文部分内容阅读
如果一个函数在定义域的不同子集中因对应关系不同而用几个不同的式子来表示，这样的函数叫做分段函数.有关分段函数的问题在近几年的高考中屡屡出现，下面就分段函数的各个问题给予阐述.
一、分段函数的值域问题
分段函数的值域就是各段函数值取值范围的并集.
例1 函数f(x)=x2-x+1，x<1,1x,x≥1的值域是.
解 当x<1时，f(x)=x2-x+1=x-122+34≥34；
当x≥1时，0 综上所述，可得值域为（0，+∞）.
其图像为
二、分段函数的求值问题
分段函数求值时要注意每一段中的自变量x的取值范围.
例2 （2010年陕西卷）已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1,若f(f(0))=4a，则实数a等于().
A.12
B.45
C.2
D.9
解 ∵f（0）=20+1=2，
∴f(f(0))=f（2）=22+2a=4+2a.
由f(f(0))=4a，得4+2a=4a，∴a=2.故选C.
三、分段函数的不等式问题
分段函数的不等式问题要充分利用分段函数的单调性.
例3 （2010年江苏卷）已知函数f（x）=x2+1,x≥0,1,x<0,则满足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范围是.
解 函数图像如图所示.
由f(1-x2)＞f(2x)，可得
1-x2＞2x≥0或1-x2＞0＞2x.
解得0≤x<2-1或-1 即不等式f(1-x2)＞f(2x)的解集为(-1,2-1).
四、分段函数的反函数问题
分段函数的反函数问题要注意求出的反函数在每一段中自变量的取值范围就是原函数在该段中函数值的取值范围.
例4 求函数f(x)=x2-1,0 解 当x∈(0,1］时，由y=x2-1，得x=y+1.
又 0 当x∈［-1，0）时，由y=x2，得x=-y.
又 0 故f-1(x)=-x,0 五、分段函数的奇偶性问题
分段函数的奇偶性问题要注意在每一段上都必须验证奇偶性的条件.
例5 判断函数f(x)=x2+x,x<0,x2-x,x>0的奇偶性.
解 函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.
当x<0时，-x＞0，则
f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);
当x＞0时，-x<0，则
f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).
综上所述，f(-x)=f(x)，∴f(x)为偶函数.
六、分段函数的单调性问题
分段函数的单调性问题一定要注意分界点.
例6 已知函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1是R上的减函数，则实数a的取值范围是.
解 由已知，可得3a-1<0,0 解得17≤a<13.
七、分段函数的连续性问题
分段函数的连续性问题主要是在分界点处的连续.
例7 （2009年四川卷）已知函数f(x)=a+log2x,x≥2,x2-4x-2,x<2在点x=2处连续，则常数a的值是().
A.2
B.3
C.4
D.5
解 由题意，得limx→2f(x)=limx→2f(x)，
∴limx→2x2-4x-2=a+log22.
即4=a+1.∴a=3.故选B.
八、分段函数的零点个数问题
分段函数零点个数问题主要是求出每一段的零点个数.
例8 （2010年福建卷）函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为().
A.0
B.1
C.2
D.3
解 令f(x)=0，则
当x≤0时，x2+2x-3=0，得x=-3或x=1(舍去)；
当x＞0时，-2+lnx=0，得x=e2.
综上所述，函数f(x)有两个零点.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、分段函数的值域问题
分段函数的值域就是各段函数值取值范围的并集.
例1 函数f(x)=x2-x+1，x<1,1x,x≥1的值域是.
解 当x<1时，f(x)=x2-x+1=x-122+34≥34；
当x≥1时，0
其图像为
二、分段函数的求值问题
分段函数求值时要注意每一段中的自变量x的取值范围.
例2 （2010年陕西卷）已知函数f(x)=2x+1,x<1,x2+ax,x≥1,若f(f(0))=4a，则实数a等于().
A.12
B.45
C.2
D.9
解 ∵f（0）=20+1=2，
∴f(f(0))=f（2）=22+2a=4+2a.
由f(f(0))=4a，得4+2a=4a，∴a=2.故选C.
三、分段函数的不等式问题
分段函数的不等式问题要充分利用分段函数的单调性.
例3 （2010年江苏卷）已知函数f（x）=x2+1,x≥0,1,x<0,则满足不等式f(1-x2)＞f(2x)的x的取值范围是.
解 函数图像如图所示.
由f(1-x2)＞f(2x)，可得
1-x2＞2x≥0或1-x2＞0＞2x.
解得0≤x<2-1或-1
四、分段函数的反函数问题
分段函数的反函数问题要注意求出的反函数在每一段中自变量的取值范围就是原函数在该段中函数值的取值范围.
例4 求函数f(x)=x2-1,0
又 0
又 0
分段函数的奇偶性问题要注意在每一段上都必须验证奇偶性的条件.
例5 判断函数f(x)=x2+x,x<0,x2-x,x>0的奇偶性.
解 函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.
当x<0时，-x＞0，则
f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);
当x＞0时，-x<0，则
f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).
综上所述，f(-x)=f(x)，∴f(x)为偶函数.
六、分段函数的单调性问题
分段函数的单调性问题一定要注意分界点.
例6 已知函数f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1是R上的减函数，则实数a的取值范围是.
解 由已知，可得3a-1<0,0
七、分段函数的连续性问题
分段函数的连续性问题主要是在分界点处的连续.
例7 （2009年四川卷）已知函数f(x)=a+log2x,x≥2,x2-4x-2,x<2在点x=2处连续，则常数a的值是().
A.2
B.3
C.4
D.5
解 由题意，得limx→2f(x)=limx→2f(x)，
∴limx→2x2-4x-2=a+log22.
即4=a+1.∴a=3.故选B.
八、分段函数的零点个数问题
分段函数零点个数问题主要是求出每一段的零点个数.
例8 （2010年福建卷）函数f(x)=x2+2x-3,x≤0,-2+lnx,x>0的零点个数为().
A.0
B.1
C.2
D.3
解 令f(x)=0，则
当x≤0时，x2+2x-3=0，得x=-3或x=1(舍去)；
当x＞0时，-2+lnx=0，得x=e2.
综上所述，函数f(x)有两个零点.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文