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抽象函数在高考中常有出现,备受命题者青睐。抽象函数问题的解决可以通过对已知函数的特征进行观察和分析,通过类比联想寻找具体函数的模型,再由具体的函数模型的图像和性质来寻求方法。这种特殊化在学习中起着“实验室”的作用,使得抽象的问题具体化,有助于问题结论的探求和解题途径的发现。在高考中,抽象函数问题常用的解决办法有:
一、联想基本初等函数,化抽象为具体
对选择题和填空题中的抽象函数问题,一般化特殊的思维方法可起到事半功倍、快速解答的作用。
例1、已知函数y=f(x),x∈R+,对任意的x、y∈R+,f(xy)=f(x)+f(y)。若f(2)=1,当x>1时,f(x)>0,则f()=_____,f(x)在R+上为_____函数。
分析:用特殊化思想求解,依题意,设f(x)=logax,X∈R+,由f(2)=1得a=2,故f()=-1,且f(x)=log2x在(0,+∞)上为增函数。
二、寻求反例,推翻结论
证明一个结论的成立,需要严密的逻辑推理,步步为营,严密论证,但一个结论的推翻却只需一个反例。
例2,设函数f(x)在R上,满足f(2-x)=f(2+x)、f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0。
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性。
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。
分析:函数y=f(x)为奇函数的条件是f(-x)=-f(x)对定义域内的一切x均成立,但要说明函数f(x)不是奇函数,只需找到一个反例x0,使得f(-x0)≠-f(x0)即可,同理,找到一个反例x0,使得f(-x0)≠f(x0),便可说明y=f(x)不是偶函数。
解:(1)∵f(2-x)=f(2+x),
∴f(2-3)=f(2+3),即f(-1)=f(5);
∵在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,
故f(5)≠0;
∴ f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1);
∴函数y=f(x)是非奇非偶函数。
(2)略。
三、结合抽象函数的特征,赋值转化
在研究函数的奇偶性、周期性、单调性时,常用赋值法,将抽象函数化归为某一性质特征,从而使问题获得解决。形如f(x±y)的抽象函数,则常可从f(0)上寻求突破,而形如f(xy)、f()的抽象函数,则常可从f(±1)寻求突破。
例3,设f(x)是定义在R上的函数,且f(x)不恒为0,对任意x1、x2∈R,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2[f(x1)+ f(x2)]。
求证:f(x)为偶函数。
证明:令x1=x2=0,得2f(0)=4f(0),
∴f(0)=0。
又令x1=0,x2= x,得f(x)+f(-x)=2f(x)
∴f(x)=f(-x),x∈R,所以f(x)为偶函数。
四、寻找模型,启迪思路
中学阶段的抽象函数,一些是以基本初等函数为背景,概括其共同的本质特征而形成的,在教学中,应及时帮助学生总结概括一些基本的初等函数的共同特征,从特殊到一般,从具体到抽象,建立抽象函数与具体函数的对应关系。常见的抽象函数及其模型,列表如下:
例4、(1)已知函数y=f(x),x∈R,对任意的实数x1、x2∈R,都有f(x1+x2)= f(x1)+(x2),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=a。则在区间[-3、3]上,f(x)的最大值为_____,f(x)的最小值为_____。
(2)已知函数y=f(x),x∈R,当x>0时,f(x)>1,对任意的实数x1、x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),以及x1≠x2时,f(x1)≠(x2),则以下关于函数y=f(x)、x∈R的判断:①f(0)=0;②y=f(x)在x∈R时是增函数;③y=f(x)在x∈R时是偶函数,正确的有_____(留给读者)。
五、理解抽象函数的本质,化虚为实
有些抽象函数,虽然没有给出具体的解析式,但是以函数的性质为背景,解题时,可把抽象函数的表达转化为函数的性质,化虚为实,从而利用函数的性质解决问题。
结论1、若函数y=f(a+x)是偶函数,即f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)满足:①f(x)=f(2a-x);②y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
结论2、若函数y=f(a+x)是奇函数,即f(a+x)=-f(a-x),则函数y=f(x)满足:①f(x)=-f(2 a-x);②y=f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称。
结论3、①若函数f(x)满足(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=对称;②若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于点(,0)成中心对称。
结论4、若函数f(x)满足f(a+x)= f(b+x),则|a-b|为f(x)的一个周期。
证明留给读者完成。
例5(2007年重庆理科第9题),已知定义在R上的函数f(x)在(8,+∞)为减函数,且函数y=f(8+x)为偶函数,则():
A、f(6)>f(7)B、f(6)>f(9)
C、f(7)>f(9)D、f(7)>f(10)
解析:∵y=f(8+x)是偶函数,∴函数y=f(x)的图像关于直线x=8对称;∵y=f(x)在(8,+∞)为减函数,∴f(x)在(-∞,8)为增函数,可以用图来表示它的图像,答案为D。
总之,必须熟练掌握各类函数的图像与性质,才能善于根据抽象函数的本质特征来分清问题的类型,可以通观全局、整体把握、局部入手,提高抽象函数问题的解答能力。
一、联想基本初等函数,化抽象为具体
对选择题和填空题中的抽象函数问题,一般化特殊的思维方法可起到事半功倍、快速解答的作用。
例1、已知函数y=f(x),x∈R+,对任意的x、y∈R+,f(xy)=f(x)+f(y)。若f(2)=1,当x>1时,f(x)>0,则f()=_____,f(x)在R+上为_____函数。
分析:用特殊化思想求解,依题意,设f(x)=logax,X∈R+,由f(2)=1得a=2,故f()=-1,且f(x)=log2x在(0,+∞)上为增函数。
二、寻求反例,推翻结论
证明一个结论的成立,需要严密的逻辑推理,步步为营,严密论证,但一个结论的推翻却只需一个反例。
例2,设函数f(x)在R上,满足f(2-x)=f(2+x)、f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0。
(1)试判断函数y=f(x)的奇偶性。
(2)试求方程f(x)=0在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。
分析:函数y=f(x)为奇函数的条件是f(-x)=-f(x)对定义域内的一切x均成立,但要说明函数f(x)不是奇函数,只需找到一个反例x0,使得f(-x0)≠-f(x0)即可,同理,找到一个反例x0,使得f(-x0)≠f(x0),便可说明y=f(x)不是偶函数。
解:(1)∵f(2-x)=f(2+x),
∴f(2-3)=f(2+3),即f(-1)=f(5);
∵在[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0,
故f(5)≠0;
∴ f(-1)≠f(1),且f(-1)≠-f(1);
∴函数y=f(x)是非奇非偶函数。
(2)略。
三、结合抽象函数的特征,赋值转化
在研究函数的奇偶性、周期性、单调性时,常用赋值法,将抽象函数化归为某一性质特征,从而使问题获得解决。形如f(x±y)的抽象函数,则常可从f(0)上寻求突破,而形如f(xy)、f()的抽象函数,则常可从f(±1)寻求突破。
例3,设f(x)是定义在R上的函数,且f(x)不恒为0,对任意x1、x2∈R,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2[f(x1)+ f(x2)]。
求证:f(x)为偶函数。
证明:令x1=x2=0,得2f(0)=4f(0),
∴f(0)=0。
又令x1=0,x2= x,得f(x)+f(-x)=2f(x)
∴f(x)=f(-x),x∈R,所以f(x)为偶函数。
四、寻找模型,启迪思路
中学阶段的抽象函数,一些是以基本初等函数为背景,概括其共同的本质特征而形成的,在教学中,应及时帮助学生总结概括一些基本的初等函数的共同特征,从特殊到一般,从具体到抽象,建立抽象函数与具体函数的对应关系。常见的抽象函数及其模型,列表如下:
例4、(1)已知函数y=f(x),x∈R,对任意的实数x1、x2∈R,都有f(x1+x2)= f(x1)+(x2),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=a。则在区间[-3、3]上,f(x)的最大值为_____,f(x)的最小值为_____。
(2)已知函数y=f(x),x∈R,当x>0时,f(x)>1,对任意的实数x1、x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),以及x1≠x2时,f(x1)≠(x2),则以下关于函数y=f(x)、x∈R的判断:①f(0)=0;②y=f(x)在x∈R时是增函数;③y=f(x)在x∈R时是偶函数,正确的有_____(留给读者)。
五、理解抽象函数的本质,化虚为实
有些抽象函数,虽然没有给出具体的解析式,但是以函数的性质为背景,解题时,可把抽象函数的表达转化为函数的性质,化虚为实,从而利用函数的性质解决问题。
结论1、若函数y=f(a+x)是偶函数,即f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)满足:①f(x)=f(2a-x);②y=f(x)的图像关于直线x=a对称。
结论2、若函数y=f(a+x)是奇函数,即f(a+x)=-f(a-x),则函数y=f(x)满足:①f(x)=-f(2 a-x);②y=f(x)的图像关于点(a,0)成中心对称。
结论3、①若函数f(x)满足(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于直线x=对称;②若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图像关于点(,0)成中心对称。
结论4、若函数f(x)满足f(a+x)= f(b+x),则|a-b|为f(x)的一个周期。
证明留给读者完成。
例5(2007年重庆理科第9题),已知定义在R上的函数f(x)在(8,+∞)为减函数,且函数y=f(8+x)为偶函数,则():
A、f(6)>f(7)B、f(6)>f(9)
C、f(7)>f(9)D、f(7)>f(10)
解析:∵y=f(8+x)是偶函数,∴函数y=f(x)的图像关于直线x=8对称;∵y=f(x)在(8,+∞)为减函数,∴f(x)在(-∞,8)为增函数,可以用图来表示它的图像,答案为D。
总之,必须熟练掌握各类函数的图像与性质,才能善于根据抽象函数的本质特征来分清问题的类型,可以通观全局、整体把握、局部入手,提高抽象函数问题的解答能力。