论文部分内容阅读
【摘 要】数学学习材料是学生课堂学习的核心载体，会对学生的数学学习产生直接的影响。以田忌赛马的教学实践为例，基于多元的视角统合学习材料可以从以下几方面着手：基于学生主体的视角要切合学情；基于材料本身的视角要一材多用；基于学习内容的视角要三向拓展。学生借助数学学习材料，积极主动探索和发现数学知识，掌握数学技能，并在这一过程中发展数学思维、提高问题解决能力。
【关键词】 多元视角 学习材料 田忌赛马
“田忌赛马”是人教版四年级上册第八单元“数学广角——优化”的学习内容，目的是让学生在多种解决问题的策略中寻求最优的策略，并在此过程中感悟优化的数学思想。以往的教学绝大多数教师按照教材的编排，从“田忌赛马”的历史故事引入，接着抛出问题：你知道田忌是怎么安排的吗？引发学生思考和讨论，然后结合生活中的比赛进行练习巩固，最后课堂小结。这样大众化的教学，学生学习了之后的确有所获得，但对于优化策略的理解并不深刻。究其原因在于学习材料，尤其是探究的学习材料的设计和使用。用田忌赛马的故事来探讨优化策略，有诸多局限：学生对田忌赛马的故事并不是很了解，课堂上学生兴趣不大；古代故事既成事实，不能随意改变；对阵的各级马匹，容易混淆；在故事的基础上进行拓展，又显得比较生硬、跳跃，不容易和其他学习材料联系起来。
学习材料是教师课堂上引导学生进行数学学习的资料，是学生课堂探究的核心载体，会对学生的数学学习产生直接而显著的影响。教师需要通盘考虑、合理整合课堂学习材料供学生探究思考，引领学生探索和发现数学知识，掌握数学技能，并在这一过程中发展数学思维、提高数学素养。数学学习材料是多种多样的，在教学中需要怎样取用呢？下面以“田忌赛马”教学为例，谈谈基于多元的视角统合学习材料进行教学的几点做法。
一、基于学生主体的视角——切合学情
学生是学习的主体，教师在设计和运用学习材料时，需要围绕学生这个主体，考虑是否切合学生的实际，调动学生已有的知识基础，唤起学生生活和学习的经验，从而把握住学生学习的关键点。学生以往积累的数学知识和活动经验，只是为持续学习提供了可能的思路和方法，还需要在学习过程中进行检验，从而巩固或形成新的数学学习方法。如果能结合学生的数学基础和学习经验，联系学生的生活，就能够使课堂风生水起，达到更好的教学效果。
【教学片段1】
师：同学们，今天我们一起来玩扑克牌游戏好不好？（好啊）
出示游戏规则：每人抽3张牌，一对一PK，点数大的赢。
师：明白游戏的规则了吗？（明白）准备好了吗？
学生一起回答：准备好了！
学生的眼睛齐刷刷地盯着投影，等待电脑发牌。
1.唤醒生活经验
鉴于田忌赛马故事的局限，笔者将探究性学习材料更换为扑克牌比大小。扑克牌比大小作为一种游戏，能激发学生参与学习的兴趣，使学生的注意力集中到课堂学习上来。更为重要的是这个游戏贴近学生的生活，符合学生的经验，学生都经历过，而且在以往的游戏过程中已经有初步的、比较模糊的策略，能够依托所积累的生活经验进行深入的探讨。扑克牌比大小主要是比数的大小，比起对上等马、中等马和下等马进行比较，要直观、清楚很多，操作起来也非常方便，便于学生比较、讨论。
2.依托知识基础
在学习“田忌赛马”之前，学生通过“烙饼问题”和“统筹方法（沏茶问题）”的学习，对优化的策略已经有所理解，田忌赛马的策略可以丰富和深化优化策略。而学生原有的课堂学习活动经验也为开展探究活动奠定了良好的基础。
3.把握学习关键
学习的关键是学生针对学习的内容在学习上所遇到的疑惑和困难，教师需要在关键点上下功夫。“田忌赛马”的优化策略，学生在日常生活中或多或少在不自觉地运用，但对于背后的原理并不清楚，或者没有去思考过，只是“知其然”，没有达到“知其所以然”。因此，教学中需要通过学习材料将重点放在为什么这样安排上。
二、基于材料本身的视角——一材多用
课堂上由于时间和空间的原因，不可能也没有必要提供很多的学习材料，因此，就要在同一个材料上下功夫，将学习材料用足用透。材料本身并不是数学，而是只提供了一个例子、一种现象，我们要从中去探寻背后的数学特点和本质。学习材料不能机械化、封闭化，要有一定的开放性和包容性，能够进行适当的变化，以巩固、深化、拓展学生的认识。这种变化可以有两种：一是学习材料本身，仅仅改变问题；二是适当改变材料中的某一个或几个条件，而问题不变。这两种方法可以根据实际需要灵活处理。
【教学片段2】引入经验初用
出示游戏规则：每人抽3张牌，一对一PK，点数大的赢。
师：谁能赢？
生：不一定。
师：如果小红想要赢，需要怎样出牌？
学生思考了一下：3、8、6。
师：能具体说一说吗？
生：3对9，8对7，6对4，三局两胜。
师：是这样吗？
学生齐声回答：是的！
教师出示两组扑克牌：9、7、4和8、6、3，先让学生初步给出对策。课堂上部分学生凭借生活经验马上就有了初步的对策，这是由于在现代的生活中，很多的比赛和游戏一般都是按照三局两胜来进行判定的，学生平时听说过、看到过，甚至也使用过。这与教学的预设相一致，说明这样的材料已经很好地引入了学生的生活经验。
【教学片段3】枚举验证细用
师：小红是不是只有这样的安排才能取胜？
生：要把小红所有的出法试一遍才能知道。
师：那我们就一起来试一下吧。请拿出练习纸，根据要求完成在练习纸上。（练习如下）
活动要求：
（1）独立思考，并填写表格。 （2）小组合作讨论：
怎样做既不会遗漏，也不会重复？
观察这些方法，你有什么发现？
学生思考完成表格，先同桌交流，然后全班交流。
生：我们是这样想的，先是8、6、3，小明赢；再是8、3、6，小明赢；再是6、8、3，小明赢；再是6、3、8，小明赢；再是3、8、6，小红赢；再是3、6、8，小明赢。
师：他们组是按什么顺序排列的？有什么好处？
生：从大到小，不会重复也不会遗漏。
师：还有其他方法吗？
生：也可以从小到大，这样也不会重复也不会遗漏。
师：是的，有序思考是非常好的方法。观察这些方法，你有什么发现？
生：小红总共有6种方法，但是只有3、8、6这一种方法才可以获胜。
学生前面已经给出一种解决方法，但只是知其然而不知其所以然。数学的学习不能止步于表面现象，更重要的是挖掘现象背后所隐含的本质。因此，教师引导学生既不重复也不遗漏地列出所有可用的方法，然后进行比较，最终让学生自己发现只有这一种方法能赢，这样便清楚地凸显出优化策略的价值，使学生初步理解了优化策略。另外，在枚举的过程中，也巩固和深化了有序思考的方法。
【教学片段4】更换条件变用
师：如果允许小红换一张牌，但不能比原来的大，你准备怎么换？为什么？
生： 把6换成5，5还是比4大。
生：也可以把3换成2，反正都是要输的。
生：3还可以换成A。
师：A表示几？
生：A就是1啊。
师：可行吗？
生（齐答）：可以。
师：为什么不换8呢？
生：小明已经是7了，不能换了。如果换了，就只有一张比小明大了，那还赢得了？
师：刚才我们换了这么多，什么是不变的？
生：有两张牌比对方大。
生：用最小对最大，保证另外两张赢。
生：还要后出牌，如果先出牌就输了。（学生都笑了起来）
师：这也是很关键的哦。
接下来，对于前面用于探讨的学习材料主题并没有更换，而是在此基础上进一步研究，让学生有条件地换扑克牌，使学生迁移出牌的对策，深化优化的策略。其实，这里每张牌的点数都是精心设计过的，小红的三张牌只可以换其中6和4两张，另外一张8不能换；6只能换成5这一种换法；而3却可以换成2或A，换牌的策略比较多样化。然后将这些不同的策略进行比较、沟通，找到他们的共同点，使学生比较深入地理解了优化的思想。
三、基于学习内容的视角——三向拓展
巩固拓展练习是数学学习内容不可或缺的部分，其积极意义已经被广大教师所接受。巩固拓展可以从三个方向进行延伸：介绍知识背景、横向联系应用、纵向深入提升。学习材料便可以根据这三个方向来设计和安排，然后引导学生观察、思考、比较、沟通。在沟通和比较中使学生更加深入地理解数学知识，从而形成更加立体、完善的认知结构网络。
【教学片段5】介绍知识背景
师：你听说过田忌赛马的故事吗？
出示“田忌赛马”：田忌和齐王赛马，他们的马都分为上、中、下三等，然而齐王的每一等马的实力都比田忌的马略强。
师：田忌要想取胜，该怎么安排？
齐王—田忌
上—（ ）
中—（ ）
下—（ ）
学生很快就填写完毕。
生：田忌用下等马对上等马，上等马对中等马，中等马对下等马，三局两胜取胜。
师：你能说说扑克游戏和田忌赛马的共同点吗？
生：要先看对手出什么，再考虑自己出什么。
生：比对手弱一些，就要放弃一局最差的，努力去赢两局。
生：要全部情况综合起来考虑，合理安排，才能取胜。
师：你们真厉害！后来人们把这种合理安排、以弱胜强的策略称为“田忌赛马”。
在理解优化策略的基础上，重现田忌赛马的历史故事，让学生知道田忌运用优化策略取胜。通过这样练习的形式来介绍知识产生的背景，丰富了学生的数学文化；能够调动学生的积极性，并应用知识解决问题，巩固和熟练优化的策略。通过寻找扑克牌和田忌赛马之间的联系来深化对优化思想的认识。
【教学片段6】横向联系应用
师：你觉得田忌赛马的这种策略在生活中可以用在哪些地方呢？
生：比赛。
师：能具体一点吗？
生：乒乓球比赛，用最弱去跟对方最强的比，最强的跟对方中等的比，中等的跟对方最弱的比。
生：玩拍手游戏也可以用到啊。
师：是的，在日常生活中，如果能用上田忌赛马的这种策略，我们肯定可以把事情完成得更好。
数学来源于生活，还要重新回到生活当中，只有这样才能让学生感受到数学知识的价值，并在横向联系生活和实际应用的过程中，丰富学生的认识，增强应用的意识，促进数学知识的巩固与发展，为进一步学习奠定良好的基础。
【教学片段7】纵向深入提升
出示拍球比赛：如果比赛中每个人都发挥正常，乙队怎样对阵才能获胜？用线连一连。
学生自主完成之后展示交流（有多种不同的方法）。
师：这么多的对阵策略都可以取胜，有什么共同的地方？
生：最少取得三局胜利。
生：用强的三个人跟对方弱的三个人比，用弱的两个人跟对方强的两个比，就能取胜了。
生：要事先合理安排好。
师：同学们分析得都有道理，看来田忌赛马的优化策略还是很有用的。
从三局两胜到五局三胜，形式不同，场数增加，并且有多种取胜的策略，这是对田忌赛马优化策略的巩固深化和拓展。教师提供的探究性学习材料尽可能包含多种解决问题的策略，使学生可以从不同的角度或不同的层次思考和解决问题，达到不同的学生在数学上得到不同的发展的目的。在展示了学生多种解决问题的策略后，教师需要引导学生进行沟通提升。这里的沟通主要是引导学生发现不同方法背后共同的策略——优化。在沟通和比较中使学生更加深入地理解每种方法，从而形成更加立体、完善的认知结构网络。
数学学习材料的设计和运用，要考虑学生的学情、材料本身的特点和学习内容的情况，放到课堂中，能够真正达到使学生乐于探究、善于探究的目的。当然，教学的预先设计只是课堂教学的一部分，在课堂实践中，还要根据学生的表现进行灵活、合理的调整，将预设和生成相结合，才能真正发挥学习材料应有的价值，从而提高课堂教学的效果。
参考文献：
[1]谢东艳.小学数学学习材料的合理开发和有效利用[J]. 宁波教育学院学报，2010（2）.
[2]王海儿.大 “ 材”小用与小“材”大用——数学学习材料的合理选择和利用[J].新课程阳光，2009（5）.
[3]章志良，汪元英.使用学习材料的几点策略[J].小学教学研究，2007（6）.
[4]庄细和.丰富学习材料，构建和谐课堂[J].广西教育，2006（10）.
（浙江省杭州市周浦小学 310024）
【关键词】 多元视角 学习材料 田忌赛马
“田忌赛马”是人教版四年级上册第八单元“数学广角——优化”的学习内容，目的是让学生在多种解决问题的策略中寻求最优的策略，并在此过程中感悟优化的数学思想。以往的教学绝大多数教师按照教材的编排，从“田忌赛马”的历史故事引入，接着抛出问题：你知道田忌是怎么安排的吗？引发学生思考和讨论，然后结合生活中的比赛进行练习巩固，最后课堂小结。这样大众化的教学，学生学习了之后的确有所获得，但对于优化策略的理解并不深刻。究其原因在于学习材料，尤其是探究的学习材料的设计和使用。用田忌赛马的故事来探讨优化策略，有诸多局限：学生对田忌赛马的故事并不是很了解，课堂上学生兴趣不大；古代故事既成事实，不能随意改变；对阵的各级马匹，容易混淆；在故事的基础上进行拓展，又显得比较生硬、跳跃，不容易和其他学习材料联系起来。
学习材料是教师课堂上引导学生进行数学学习的资料，是学生课堂探究的核心载体，会对学生的数学学习产生直接而显著的影响。教师需要通盘考虑、合理整合课堂学习材料供学生探究思考，引领学生探索和发现数学知识，掌握数学技能，并在这一过程中发展数学思维、提高数学素养。数学学习材料是多种多样的，在教学中需要怎样取用呢？下面以“田忌赛马”教学为例，谈谈基于多元的视角统合学习材料进行教学的几点做法。
一、基于学生主体的视角——切合学情
学生是学习的主体，教师在设计和运用学习材料时，需要围绕学生这个主体，考虑是否切合学生的实际，调动学生已有的知识基础，唤起学生生活和学习的经验，从而把握住学生学习的关键点。学生以往积累的数学知识和活动经验，只是为持续学习提供了可能的思路和方法，还需要在学习过程中进行检验，从而巩固或形成新的数学学习方法。如果能结合学生的数学基础和学习经验，联系学生的生活，就能够使课堂风生水起，达到更好的教学效果。
【教学片段1】
师：同学们，今天我们一起来玩扑克牌游戏好不好？（好啊）
出示游戏规则：每人抽3张牌，一对一PK，点数大的赢。
师：明白游戏的规则了吗？（明白）准备好了吗？
学生一起回答：准备好了！
学生的眼睛齐刷刷地盯着投影，等待电脑发牌。
1.唤醒生活经验
鉴于田忌赛马故事的局限，笔者将探究性学习材料更换为扑克牌比大小。扑克牌比大小作为一种游戏，能激发学生参与学习的兴趣，使学生的注意力集中到课堂学习上来。更为重要的是这个游戏贴近学生的生活，符合学生的经验，学生都经历过，而且在以往的游戏过程中已经有初步的、比较模糊的策略，能够依托所积累的生活经验进行深入的探讨。扑克牌比大小主要是比数的大小，比起对上等马、中等马和下等马进行比较，要直观、清楚很多，操作起来也非常方便，便于学生比较、讨论。
2.依托知识基础
在学习“田忌赛马”之前，学生通过“烙饼问题”和“统筹方法（沏茶问题）”的学习，对优化的策略已经有所理解，田忌赛马的策略可以丰富和深化优化策略。而学生原有的课堂学习活动经验也为开展探究活动奠定了良好的基础。
3.把握学习关键
学习的关键是学生针对学习的内容在学习上所遇到的疑惑和困难，教师需要在关键点上下功夫。“田忌赛马”的优化策略，学生在日常生活中或多或少在不自觉地运用，但对于背后的原理并不清楚，或者没有去思考过，只是“知其然”，没有达到“知其所以然”。因此，教学中需要通过学习材料将重点放在为什么这样安排上。
二、基于材料本身的视角——一材多用
课堂上由于时间和空间的原因，不可能也没有必要提供很多的学习材料，因此，就要在同一个材料上下功夫，将学习材料用足用透。材料本身并不是数学，而是只提供了一个例子、一种现象，我们要从中去探寻背后的数学特点和本质。学习材料不能机械化、封闭化，要有一定的开放性和包容性，能够进行适当的变化，以巩固、深化、拓展学生的认识。这种变化可以有两种：一是学习材料本身，仅仅改变问题；二是适当改变材料中的某一个或几个条件，而问题不变。这两种方法可以根据实际需要灵活处理。
【教学片段2】引入经验初用
出示游戏规则：每人抽3张牌，一对一PK，点数大的赢。
师：谁能赢？
生：不一定。
师：如果小红想要赢，需要怎样出牌？
学生思考了一下：3、8、6。
师：能具体说一说吗？
生：3对9，8对7，6对4，三局两胜。
师：是这样吗？
学生齐声回答：是的！
教师出示两组扑克牌：9、7、4和8、6、3，先让学生初步给出对策。课堂上部分学生凭借生活经验马上就有了初步的对策，这是由于在现代的生活中，很多的比赛和游戏一般都是按照三局两胜来进行判定的，学生平时听说过、看到过，甚至也使用过。这与教学的预设相一致，说明这样的材料已经很好地引入了学生的生活经验。
【教学片段3】枚举验证细用
师：小红是不是只有这样的安排才能取胜？
生：要把小红所有的出法试一遍才能知道。
师：那我们就一起来试一下吧。请拿出练习纸，根据要求完成在练习纸上。（练习如下）
活动要求：
（1）独立思考，并填写表格。 （2）小组合作讨论：
怎样做既不会遗漏，也不会重复？
观察这些方法，你有什么发现？
学生思考完成表格，先同桌交流，然后全班交流。
生：我们是这样想的，先是8、6、3，小明赢；再是8、3、6，小明赢；再是6、8、3，小明赢；再是6、3、8，小明赢；再是3、8、6，小红赢；再是3、6、8，小明赢。
师：他们组是按什么顺序排列的？有什么好处？
生：从大到小，不会重复也不会遗漏。
师：还有其他方法吗？
生：也可以从小到大，这样也不会重复也不会遗漏。
师：是的，有序思考是非常好的方法。观察这些方法，你有什么发现？
生：小红总共有6种方法，但是只有3、8、6这一种方法才可以获胜。
学生前面已经给出一种解决方法，但只是知其然而不知其所以然。数学的学习不能止步于表面现象，更重要的是挖掘现象背后所隐含的本质。因此，教师引导学生既不重复也不遗漏地列出所有可用的方法，然后进行比较，最终让学生自己发现只有这一种方法能赢，这样便清楚地凸显出优化策略的价值，使学生初步理解了优化策略。另外，在枚举的过程中，也巩固和深化了有序思考的方法。
【教学片段4】更换条件变用
师：如果允许小红换一张牌，但不能比原来的大，你准备怎么换？为什么？
生： 把6换成5，5还是比4大。
生：也可以把3换成2，反正都是要输的。
生：3还可以换成A。
师：A表示几？
生：A就是1啊。
师：可行吗？
生（齐答）：可以。
师：为什么不换8呢？
生：小明已经是7了，不能换了。如果换了，就只有一张比小明大了，那还赢得了？
师：刚才我们换了这么多，什么是不变的？
生：有两张牌比对方大。
生：用最小对最大，保证另外两张赢。
生：还要后出牌，如果先出牌就输了。（学生都笑了起来）
师：这也是很关键的哦。
接下来，对于前面用于探讨的学习材料主题并没有更换，而是在此基础上进一步研究，让学生有条件地换扑克牌，使学生迁移出牌的对策，深化优化的策略。其实，这里每张牌的点数都是精心设计过的，小红的三张牌只可以换其中6和4两张，另外一张8不能换；6只能换成5这一种换法；而3却可以换成2或A，换牌的策略比较多样化。然后将这些不同的策略进行比较、沟通，找到他们的共同点，使学生比较深入地理解了优化的思想。
三、基于学习内容的视角——三向拓展
巩固拓展练习是数学学习内容不可或缺的部分，其积极意义已经被广大教师所接受。巩固拓展可以从三个方向进行延伸：介绍知识背景、横向联系应用、纵向深入提升。学习材料便可以根据这三个方向来设计和安排，然后引导学生观察、思考、比较、沟通。在沟通和比较中使学生更加深入地理解数学知识，从而形成更加立体、完善的认知结构网络。
【教学片段5】介绍知识背景
师：你听说过田忌赛马的故事吗？
出示“田忌赛马”：田忌和齐王赛马，他们的马都分为上、中、下三等，然而齐王的每一等马的实力都比田忌的马略强。
师：田忌要想取胜，该怎么安排？
齐王—田忌
上—（ ）
中—（ ）
下—（ ）
学生很快就填写完毕。
生：田忌用下等马对上等马，上等马对中等马，中等马对下等马，三局两胜取胜。
师：你能说说扑克游戏和田忌赛马的共同点吗？
生：要先看对手出什么，再考虑自己出什么。
生：比对手弱一些，就要放弃一局最差的，努力去赢两局。
生：要全部情况综合起来考虑，合理安排，才能取胜。
师：你们真厉害！后来人们把这种合理安排、以弱胜强的策略称为“田忌赛马”。
在理解优化策略的基础上，重现田忌赛马的历史故事，让学生知道田忌运用优化策略取胜。通过这样练习的形式来介绍知识产生的背景，丰富了学生的数学文化；能够调动学生的积极性，并应用知识解决问题，巩固和熟练优化的策略。通过寻找扑克牌和田忌赛马之间的联系来深化对优化思想的认识。
【教学片段6】横向联系应用
师：你觉得田忌赛马的这种策略在生活中可以用在哪些地方呢？
生：比赛。
师：能具体一点吗？
生：乒乓球比赛，用最弱去跟对方最强的比，最强的跟对方中等的比，中等的跟对方最弱的比。
生：玩拍手游戏也可以用到啊。
师：是的，在日常生活中，如果能用上田忌赛马的这种策略，我们肯定可以把事情完成得更好。
数学来源于生活，还要重新回到生活当中，只有这样才能让学生感受到数学知识的价值，并在横向联系生活和实际应用的过程中，丰富学生的认识，增强应用的意识，促进数学知识的巩固与发展，为进一步学习奠定良好的基础。
【教学片段7】纵向深入提升
出示拍球比赛：如果比赛中每个人都发挥正常，乙队怎样对阵才能获胜？用线连一连。
学生自主完成之后展示交流（有多种不同的方法）。
师：这么多的对阵策略都可以取胜，有什么共同的地方？
生：最少取得三局胜利。
生：用强的三个人跟对方弱的三个人比，用弱的两个人跟对方强的两个比，就能取胜了。
生：要事先合理安排好。
师：同学们分析得都有道理，看来田忌赛马的优化策略还是很有用的。
从三局两胜到五局三胜，形式不同，场数增加，并且有多种取胜的策略，这是对田忌赛马优化策略的巩固深化和拓展。教师提供的探究性学习材料尽可能包含多种解决问题的策略，使学生可以从不同的角度或不同的层次思考和解决问题，达到不同的学生在数学上得到不同的发展的目的。在展示了学生多种解决问题的策略后，教师需要引导学生进行沟通提升。这里的沟通主要是引导学生发现不同方法背后共同的策略——优化。在沟通和比较中使学生更加深入地理解每种方法，从而形成更加立体、完善的认知结构网络。
数学学习材料的设计和运用，要考虑学生的学情、材料本身的特点和学习内容的情况，放到课堂中，能够真正达到使学生乐于探究、善于探究的目的。当然，教学的预先设计只是课堂教学的一部分，在课堂实践中，还要根据学生的表现进行灵活、合理的调整，将预设和生成相结合，才能真正发挥学习材料应有的价值，从而提高课堂教学的效果。
参考文献：
[1]谢东艳.小学数学学习材料的合理开发和有效利用[J]. 宁波教育学院学报，2010（2）.
[2]王海儿.大 “ 材”小用与小“材”大用——数学学习材料的合理选择和利用[J].新课程阳光，2009（5）.
[3]章志良，汪元英.使用学习材料的几点策略[J].小学教学研究，2007（6）.
[4]庄细和.丰富学习材料，构建和谐课堂[J].广西教育，2006（10）.
（浙江省杭州市周浦小学 310024）