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【摘要】本文以直观想象、逻辑推理、数学运算三大核心素养为导向,以数形结合、化归与转化数学思想为主线,以学生能力的培养为目标,以“点到直线的距离”为例进行主题教学设计,并注重教学要素分析与现代信息技术的使用,构建逻辑连贯的教学过程.
【关键词】距离;核心素养;数学思想;主题教学
《普通高中课程标准(2017年版)》高中阶段的数学核心素养具体确定为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六方面[1].数学核心素养的给出回答了未来数学教育要“培养什么人”的问题.但无论怎样培养,都需要树立正确的教育观念.从教材层面看,可以通过教师“理解好”教材、“利用好”教材,让数学核心素养“落地生根”;从教学观层面看,可以通过触及数学知识本质、关注学生思维深层次参与的深度教学,让数学核心素养“开花结果”[2];从教学操作层面看,教师要注重教学设计,重视情景创设与问题设计,促进学生对数学本质的理解.《普通高中课程标准(2017年版)》给出了主题教学设计的一般模式:确定主题内容、分析教学要素、编制主题教学目标、设计主题教学流程、设计反思与修改[1].
根据新课标发布后两年多的教学实践,我以“点到直线的距离”为例加以分析说明.
一、教学要素分析
1.教材内容分析
对于平面几何,我们可以对直线进行定量研究.引入平面直角坐标系后,我们用方程表示直线,直线的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个等式,即二元一次方程.这样,我们可以用代数方法来研究直线上的点,对直线进行定量研究.
2.学情分析
学生在前两节课已经学习了两条直线交点坐标的求法,以及两点间距离的求法,这为本节课求点到直线的距离提供了学习的工具.但学生对直角三角形中“等面积法”求距离使用很少,且多数学生已经遗忘,故要在课前适当复习.
3.重点、难点、核心素养分析
根据点到直线的距离的概念,学生容易想到的是过点作直线的垂线段,所求距离为垂线段的长度,求解思路:写出垂线段所在直线的方程,与已知直线联立成方程组,求出交点坐标即垂足坐标,再利用两点间的距离公式求出结果,这是典型的坐标法.这种思路是重点,但求交点坐标、求距离是难点,学生几乎无法进行运算,故回归到几何的本质,采用几何法——“等面积法”求距离,这是本节课教学的重点.同时要在教学中渗透直观想象、逻辑推理、數学运算的数学核心素养.
4.教学方式分析
本节课通过以下程序:提出问题——分析问题,选择方法——合作交流,解决问题——反思解决问题的过程——优化解决问题的方法——简单应用,巩固知识,设置教学流程.在教学中,教师设置问题,学生通过小组合作、师生合作,探究出求点到直线距离的坐标法,并利用多媒体对图形的变化进行展示,寻找求点到直线的距离的几何法——等面积求距离法,从而顺利推导出点到直线的距离公式.
二、教学流程设计
1.创设情境,提出问题
师:上节课我们已经学习了两点之间的距离公式.如图1所示,已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离P1P2等于多少?
生:P1P2=(x2-x1)2 (y2-y1)2.
师:任意给出两个点的坐标,可以用代数的方法计算出两点间距离.如果将上述问题中的一个点不变,另一个点的坐标换成一条直线的方程,那么怎样求点到直线的距离呢?即:如图2所示,已知点P0(x0,y0),直线l的方程为Ax By C=0,求点P0到直线l的距离d.
设计意图:复习上节课知识,类比提出本节课要解决的问题,体现了知识的延续性.
2.分析问题,选择方法
师:点P0到直线l的距离怎么表示?
生1:过点P0作直线l的垂线,垂足为Q,则线段P0Q的长就是点P0到直线l的距离,如图2所示.
师:很好!怎样求呢?
生2:已知点P0的坐标,求出点Q的坐标即可.
师:怎样求点Q的坐标呢?
生3:由直线P0Q与l的方程联立可求出点Q的坐标.
师:直线P0Q的方程怎样求呢?
生4:点P0坐标已知,只需求出垂线P0Q的斜率kP0Q,再用“点斜式”求出方程即可.因为P0Q⊥l,所以kl·kP0Q=-1,直线l的斜率已知,所以可以求出kP0Q,这样问题就得到了解决.
师:直线l的斜率怎么求?
生5:kl=-AB.
师:他的回答正确吗?
学生讨论.讨论后,发现当B=0,A≠0时,直线l的斜率不存在,但直线l的方程变得更简单,为x=-CA,此时d=x0 CA(如图3所示);当A=0,B≠0时,直线l的方程为y=-CB,此时d=y0 CB(如图4所示).
设计意图:让学生学会“以退为进”,这实际上也是转化与划归思想的体现.
5.简单应用,巩固知识
对教材例5的说明:比较简单,直接利用公式求解即可.
对教材例6的说明:它是两点间距离公式、直线方程、点到直线的距离公式、面积公式等综合的应用题.若时间允许,则可以考虑用其他方法求解.
三、教学反思
1.利用层层递进的问题情境,降低思维难度
有人说,课堂提问是课堂教学的灵魂.课堂提问由浅入深,层层推进,环环相扣,学生在教师的引导下,不断发现问题和解决问题.好的提问必然能体现前后知识的连贯性和逻辑性,但解决的问题又揭示了本节课的难点——代数运算.通过探究问题情境,“退”到两点间距离求法的源头,降低了思维难度.
2.利用现代多媒体技术,提升数学核心素养
合理利用多媒体技术,可以提高教学效率.比如,前两种方法的推导只需展示给学生,让其体会推导过程的艰难即可,但多媒体与板书也要结合起来使用,这样才能让学生对重点内容有深刻的印象.比如,第三种方法的推导,教师就需要给出详细的板书,以此培养学生的逻辑推理能力、数学运算能力,进而提升直观想象的核心素养.
3.利用课堂教学的舞台,渗透数学思想方法
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”本节课在推导点到直线距离公式时,利用多媒体展示图形,以形助数,提高了学生的感性认识,学生的动手推导与教师的板书相结合,又提升了学生的理性认识,以此完美地渗透数学思想.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018:4.
[2]王沛钰,李祎.高中生数学核心素养的培养需树立的几种观念[J].数学通讯,2019(08):1-3,31.
【关键词】距离;核心素养;数学思想;主题教学
《普通高中课程标准(2017年版)》高中阶段的数学核心素养具体确定为数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六方面[1].数学核心素养的给出回答了未来数学教育要“培养什么人”的问题.但无论怎样培养,都需要树立正确的教育观念.从教材层面看,可以通过教师“理解好”教材、“利用好”教材,让数学核心素养“落地生根”;从教学观层面看,可以通过触及数学知识本质、关注学生思维深层次参与的深度教学,让数学核心素养“开花结果”[2];从教学操作层面看,教师要注重教学设计,重视情景创设与问题设计,促进学生对数学本质的理解.《普通高中课程标准(2017年版)》给出了主题教学设计的一般模式:确定主题内容、分析教学要素、编制主题教学目标、设计主题教学流程、设计反思与修改[1].
根据新课标发布后两年多的教学实践,我以“点到直线的距离”为例加以分析说明.
一、教学要素分析
1.教材内容分析
对于平面几何,我们可以对直线进行定量研究.引入平面直角坐标系后,我们用方程表示直线,直线的方程就是直线上每一点的坐标满足的一个等式,即二元一次方程.这样,我们可以用代数方法来研究直线上的点,对直线进行定量研究.
2.学情分析
学生在前两节课已经学习了两条直线交点坐标的求法,以及两点间距离的求法,这为本节课求点到直线的距离提供了学习的工具.但学生对直角三角形中“等面积法”求距离使用很少,且多数学生已经遗忘,故要在课前适当复习.
3.重点、难点、核心素养分析
根据点到直线的距离的概念,学生容易想到的是过点作直线的垂线段,所求距离为垂线段的长度,求解思路:写出垂线段所在直线的方程,与已知直线联立成方程组,求出交点坐标即垂足坐标,再利用两点间的距离公式求出结果,这是典型的坐标法.这种思路是重点,但求交点坐标、求距离是难点,学生几乎无法进行运算,故回归到几何的本质,采用几何法——“等面积法”求距离,这是本节课教学的重点.同时要在教学中渗透直观想象、逻辑推理、數学运算的数学核心素养.
4.教学方式分析
本节课通过以下程序:提出问题——分析问题,选择方法——合作交流,解决问题——反思解决问题的过程——优化解决问题的方法——简单应用,巩固知识,设置教学流程.在教学中,教师设置问题,学生通过小组合作、师生合作,探究出求点到直线距离的坐标法,并利用多媒体对图形的变化进行展示,寻找求点到直线的距离的几何法——等面积求距离法,从而顺利推导出点到直线的距离公式.
二、教学流程设计
1.创设情境,提出问题
师:上节课我们已经学习了两点之间的距离公式.如图1所示,已知点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两点间的距离P1P2等于多少?
生:P1P2=(x2-x1)2 (y2-y1)2.
师:任意给出两个点的坐标,可以用代数的方法计算出两点间距离.如果将上述问题中的一个点不变,另一个点的坐标换成一条直线的方程,那么怎样求点到直线的距离呢?即:如图2所示,已知点P0(x0,y0),直线l的方程为Ax By C=0,求点P0到直线l的距离d.
设计意图:复习上节课知识,类比提出本节课要解决的问题,体现了知识的延续性.
2.分析问题,选择方法
师:点P0到直线l的距离怎么表示?
生1:过点P0作直线l的垂线,垂足为Q,则线段P0Q的长就是点P0到直线l的距离,如图2所示.
师:很好!怎样求呢?
生2:已知点P0的坐标,求出点Q的坐标即可.
师:怎样求点Q的坐标呢?
生3:由直线P0Q与l的方程联立可求出点Q的坐标.
师:直线P0Q的方程怎样求呢?
生4:点P0坐标已知,只需求出垂线P0Q的斜率kP0Q,再用“点斜式”求出方程即可.因为P0Q⊥l,所以kl·kP0Q=-1,直线l的斜率已知,所以可以求出kP0Q,这样问题就得到了解决.
师:直线l的斜率怎么求?
生5:kl=-AB.
师:他的回答正确吗?
学生讨论.讨论后,发现当B=0,A≠0时,直线l的斜率不存在,但直线l的方程变得更简单,为x=-CA,此时d=x0 CA(如图3所示);当A=0,B≠0时,直线l的方程为y=-CB,此时d=y0 CB(如图4所示).
设计意图:让学生学会“以退为进”,这实际上也是转化与划归思想的体现.
5.简单应用,巩固知识
对教材例5的说明:比较简单,直接利用公式求解即可.
对教材例6的说明:它是两点间距离公式、直线方程、点到直线的距离公式、面积公式等综合的应用题.若时间允许,则可以考虑用其他方法求解.
三、教学反思
1.利用层层递进的问题情境,降低思维难度
有人说,课堂提问是课堂教学的灵魂.课堂提问由浅入深,层层推进,环环相扣,学生在教师的引导下,不断发现问题和解决问题.好的提问必然能体现前后知识的连贯性和逻辑性,但解决的问题又揭示了本节课的难点——代数运算.通过探究问题情境,“退”到两点间距离求法的源头,降低了思维难度.
2.利用现代多媒体技术,提升数学核心素养
合理利用多媒体技术,可以提高教学效率.比如,前两种方法的推导只需展示给学生,让其体会推导过程的艰难即可,但多媒体与板书也要结合起来使用,这样才能让学生对重点内容有深刻的印象.比如,第三种方法的推导,教师就需要给出详细的板书,以此培养学生的逻辑推理能力、数学运算能力,进而提升直观想象的核心素养.
3.利用课堂教学的舞台,渗透数学思想方法
数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”本节课在推导点到直线距离公式时,利用多媒体展示图形,以形助数,提高了学生的感性认识,学生的动手推导与教师的板书相结合,又提升了学生的理性认识,以此完美地渗透数学思想.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018:4.
[2]王沛钰,李祎.高中生数学核心素养的培养需树立的几种观念[J].数学通讯,2019(08):1-3,31.