“十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式与解一元二次方程中有广泛的应用。
　　十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
　　一、用十字相乘法分解一般的二次三项式
　　例1 、把m²+4m-12分解因式
　　分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
　　解：因为 1 -2
　　 ╳
　　1 6
　　所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)
　　例2、 把 x²-5x+6分解因式
　　解：因为1 -2
　　╳
　　1 -3
　　所以x²-5x+6=（x-2）(x-3)
　　例3、 把 x²-5x-6分解因式
　　解：因为1 +1
　　╳
　　1 -6
　　所以x²-5x-6=（x+1）(x-6)
　　例4、 把 x²+5x-6分解因式
　　解：因为1 -1
　　╳
　　1 +6
　　所以x²+5x-6=（x-1）(x+6)
　　例5、 把 x²+5x+6分解因式
　　解：因为1 +2
　　╳
　　1 +3
　　所以x²+5x+6=（x+2）(x+3)
　　二、用十字相乘法分解特殊的多项式
　　例6、把x²- y²分解因式
　　解： 因为
　　1 1
　　╳
　　1 -1
　　所以x²- y²=（x+y）（x-y）
　　例7、把x²+2 xy+ y²分解因式
　　解： 因为1 1
　　╳
　　1 1
　　所以x²+2 xy+ y²=（x+y）(x+y)
　　例8、把x²-2 xy+ y²分解因式
　　解： 因为1 - 1
　　╳
　　1 - 1
　　所以x²-2 xy+ y²=（x-y）(x-y)
　　三、用十字相乘法解一些比较难的题目：
　　例9、把5x²+6x-8分解因式
　　分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
　　解： 因为 1 2
　　╳
　　5 -4
　　所以5x²+6x-8=(x+2)(5x-4)
　　例10、把14x²-67xy+18y²分解因式
　　分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,
　　则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
　　解: 因为 2 -9y
　　╳
　　7 -2y
　　所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
　　例11、 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
　　分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
　　解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
　　=10x²-(27y+1)x -(28y²-25y+3)
　　4y -3
　　╳
　　7y -1
　　=10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)
　　2 -(7y – 1)
　　 ╳
　　5 +( 4y – 3)
　　=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
　　=(2x -7y +1)(5x +4y -3)
　　说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1)，再用十字相乘法把10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为：
　　[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)]
　　解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3 =(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3
　　2 -7y
　　╳
　　5 4y
　　=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3
　　2 x-7y 1
　　╳
　　5x+4y -3
　　=[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3]
　　=(2x -7y+1)(5x +4y -3)
　　说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x +4y)-3].
　　四、利用十字相乘法解一元二次方程
　　例12 、解方程x²-8x+15=0
　　分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，
　　-3×（-5）。
　　解： 因为 1 -3
　　╳
　　1 -5
　　所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0
　　所以x1=3， x2=5
　　例13、 解方程 6x²-5x-25=0
　　分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，
　　则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
　　解： 因为
　　2 -5
　　╳
　　3 5
　　所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0
　　所以 x1=5/2 x2=-5/3
　　例14、解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
　　分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
　　解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
　　x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0
　　1 -b
　　╳
　　2 +b
　　x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0
　　1 -(2a+b)
　　╳
　　1 -(a-b)
　　[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0
　　所以 x1=2a+b， x2=a-b
　　
　　收稿日期：2010-11-12