反证法是数学中一种重要的证明方法,在中学阶段有着广泛的运用,尤其在几何中的应用较多。如果要准确运用这种方法,应注意以下几个方面:
　　一、反证法的实质
　　反证法主要体现在“反”上,“反”指的是命题结论的对立面,即“反面”。“证”就是推理、推导。反证法实质是证明命题的逆否命题成立。当命题由已知条件不易进行推导时可改证它的逆否命题成立,因为一个命题与它的逆否命题同真同假。
　　二、反证法与同一法的区别与联系
　　1、同一法的含义:一个命题和它的逆命题中只要有一个成立,另一个就一定成立,这个道理叫同一法则。在符合同一法则的前提下,用证明逆命题来代替证明原命题的方法叫同一法。
　　2、反证法和同一法都是间接证法,前者证的是原命题的逆否命题,后者证的是原命题的逆命题。
　　三、反证法的证明步骤
　　1、假设命题的结论不成立,即结论的反面成立。
　　2、从假设出发,结合已知条件,推导出和已知、公理、定理、某些正确命题等相矛盾的结论。
　　3、通过矛盾判断假设不正确,从而肯定原命题正确。
　　在以上3个步骤中,第2个步骤尤为关键,既是重点也是难点,假设也要作为条件来使用。
　　四、反证法适宜使用的情况
　　1、直接证明结论成立不容易。
　　2、结论本身以否定形式出现。
　　3、结论中出现“至少”或“至多”等形式。
　　4、证明关于唯一性、存在性的命题。
　　五、反证法应用举例
　　例1 求证:分别和两条异面直线AB和CD同时相交的直线AC、BD是异面直线。
　　【分析】:因为异面直线的定义操作性不强,因此初学立体几何时常用反证法证明两条直线是异面直线。
　　【证明】:假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为α,由ACa,知BDa,知A、B、C、D∈a故ABa,CDa。这与AB和CD是异面直线矛盾,于是假设不成立,故直线AC和BD是异面直线。
　　例2 已知a与b是异面直线,求证过a且平行于b的平面只有一个。
　　【分析】:因为“唯一性”是只有一个,所以排除两个及以上情况易于比较,可选用反证法。
　　【证明】:如图,假设过直线a且平行于直线b的平面有两个α和β。在直线a上取点A,过b和A确定一个平面γ,且γ与α,β分别交于过A点的直线c、d。由b//α,知b//c。同理b//d。故c//d,这与c、d相交于点A矛盾。
　　故假设不成立。从而过a且平行于b的平面只有一个。
　　例1:用反证法证明:圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
　　【分析】:因为圆中的弦互相平分有相应的结论,所以可选用反证法。
　　【证明】:假设圆的两条不是直径的弦能互相平分 ,则可以连接圆心和交点。 因为交点是弦的中点,则连线垂直于两条弦。因为一条直线同时垂直于两条相交直线与垂线性质矛盾, 所以假设不成立,原命题成立。
　　例2. 若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a+2 =0, x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根。试求实数a的取值范围。
　　【分析】 三个方程中至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种:三个方程均没有实根。先求出反面情况时a的范围,再所得范围的补集就是正面情况的答案。
　　【解】 设三个方程均无实根,则有:(4a)2 -4(-4a+3)<0,(a-1)2-4(a+2)<0,(2a)2-4(-2a)<0解得 -1