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一、丰富直观表征，促进有效建模
如何契合学生认知水平，借助生活原型搭建几何直观，运用多种图形表征以正确描述和分析问题，有效建立数学模型，是值得教师不断思考的问题。
例如，人教版四下“乘法分配律”的教学，教师创设买表演服的情境：学校武术队购买新的表演服，每件上衣55元，每条长裤40元，买了8套，一共需要多少元？通过引导学生小组合作进行画图分析，很快获得多种直观表征（图1）。
在不同的直观表征中，教师通过递进式的问题串激发学生进行思考：（1）你能说说示意图表示什么意思吗？（2）解决这道题可以有几种算法？又可以写成一个什么样的等式呢？ （3）你能用自己的话说一说这个等式的意思吗？（4）除了用数字的方法，我们还可以怎么表示这个等式？（用符号或字母表示）（5）哪个等式表述起来更顺口？（字母式）这些问题很好地沟通了不同表征之间的内在联系，促使学生在层层递进推理中完成乘法分配律这一模型的建构。
二、变换构图方式，提高解题能力
当学生借助直观表征解题遭遇瓶颈时，教师要善于把握几何直观的优势进行解决问题分析策略的指导，让学生在对比辨析中发现知识之间的区别与联系。通过变换构图方式，化繁为简，化难为易，启迪解题思路，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
例如，人教版六上“圆”这一单元中关于扇形面积的一道习题（图2），要求图中阴影部分的面积，也就是求三个扇形面积之和。刚接触这种问题，学生往往没有头绪，很难把它与之前学过的三角形内角和的探究过程联系到一起。这时，教师可抛出问题：“这三个扇形有什么特点？你有什么想法？”引导学生观察发现：大三角形是一个等腰直角三角形，两个底角都是45°，即三个扇形的圆心角分别是90°、45°、45°，圆心角之和正好是180°，而180°的角是一个平角。由于三个扇形的半径也相等，因此正好可以拼成一个半圆。通过变换构图，就可以将问题转化为“求半径是5厘米的半圆（图3）面积”，问题就可以迎刃而解。
三、依托数形结合，加深知识理解
数形结合是一种重要的数学思想方法，其实质在于通过数和形的对应与转换，使抽象的数学描述与直观的几何图形巧妙地结合在一起。
如教学1+2+3+4+…+n，由于“在n趋于正无穷时，其和没有极限，题值为无穷大”这知识点对于小学生来说十分深奥，理解起来比较困难。因此，笔者通过化繁为简，借助边长是1的小正方形开始研究前四个数相加情况。先摆放从1到4的小正方形个数让学生观察，然后将其置于边长是4的大正方形中，借助图形，学生不难看出求从1到4的和，其实是可以转化为求这叠加图形的面积。为了便于进一步观察，笔者有意识地添加上一条对角线（图4），引导学生继续观察对角线的斜下方和斜上方两个阴影部分的面积。学生发现：斜下方是一个大三角形，面积正好是整个大正方形面积的一半，即×4×4;斜上方则是4个小正方形面积的一半，即×4，因此得出：1+2+3+4=×4×4+×4=×4×（4+1）。结果出来后，笔者没有就此打住，而是继续出示1+2+3+4+5+6与1+2+3+4+5+6+7+8+9的图例（图略），引导学生观察这两幅图中对角线的斜下方和斜上方两个阴影部分的面积各是怎么计算的。利用知识迁移，学生顺利写出了答案。笔者最后追问：“如果不看图，继续写更多连续自然数的和，你能知道结果等于多少吗？你能说说它的图是什么样的吗？”通过对多组数列的探究，学生自然就能得出1+2+3+…+n=n（n+1）這个较为抽象的结论了。
四、巧借信息技术，助推思维发展
教师可适时借助信息技术模拟问题情境，化抽象语句为直观可视的几何动画，帮助学生打开思路，优化课堂教学。
如人教版五下“真分数和假分数”的教学，教师除了可以利用图形来表示具体的分数之外，还可借助数轴来研究分数，依托信息技术，使图形所表示的分数与数轴上的点之间建立起联系。教学中，教师可将若干个相同的圆都平均分成4份，每份用分数表示都是，每添加这样的1份，分子相应加1，而分母不变;这样的1份、2份、3份、4份……用分数表示分别是 ……这些都能在数轴上找到相对应的点（图5）。在这一一对应中，学生获得明晰的表象信息，从而进一步理解、掌握分数的意义，感受分数的连续性以及分子、分母之间的内在关系，为深入学习真分数与假分数的有关知识做了很好的铺垫。
又如，在教学“长方体的体积”时，有这样一道习题：从一个长32 cm的大长方体上，切下一个长8 cm、体积120 cm■3的小长方体，求原来大长方体的体积。可以利用几何直观形象呈现问题（图6），有了图示，学生不仅厘清了解题思路，还找到了不同的解题方法。
通过观察，学生不难看出切割前后长方体的侧面积保持不变，从而懂得解题关键是先求出这个长方体的侧面积，然后再用侧面积乘对应的长就能求出原长方体的体积了。当教师继续借助多媒体技术对示意图进行进一步的动态切割（图7），学生茅塞顿开：原来整个长方体的长与切下长方体的长成倍数关系。由此可知这两个长方体的体积也成倍数关系，于是就有了第三种解法，即：120×4=480（cm3）。
（作者单位：福建省福州市钱塘小学屏北分校）
如何契合学生认知水平，借助生活原型搭建几何直观，运用多种图形表征以正确描述和分析问题，有效建立数学模型，是值得教师不断思考的问题。
例如，人教版四下“乘法分配律”的教学，教师创设买表演服的情境：学校武术队购买新的表演服，每件上衣55元，每条长裤40元，买了8套，一共需要多少元？通过引导学生小组合作进行画图分析，很快获得多种直观表征（图1）。
在不同的直观表征中，教师通过递进式的问题串激发学生进行思考：（1）你能说说示意图表示什么意思吗？（2）解决这道题可以有几种算法？又可以写成一个什么样的等式呢？ （3）你能用自己的话说一说这个等式的意思吗？（4）除了用数字的方法，我们还可以怎么表示这个等式？（用符号或字母表示）（5）哪个等式表述起来更顺口？（字母式）这些问题很好地沟通了不同表征之间的内在联系，促使学生在层层递进推理中完成乘法分配律这一模型的建构。
二、变换构图方式，提高解题能力
当学生借助直观表征解题遭遇瓶颈时，教师要善于把握几何直观的优势进行解决问题分析策略的指导，让学生在对比辨析中发现知识之间的区别与联系。通过变换构图方式，化繁为简，化难为易，启迪解题思路，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
例如，人教版六上“圆”这一单元中关于扇形面积的一道习题（图2），要求图中阴影部分的面积，也就是求三个扇形面积之和。刚接触这种问题，学生往往没有头绪，很难把它与之前学过的三角形内角和的探究过程联系到一起。这时，教师可抛出问题：“这三个扇形有什么特点？你有什么想法？”引导学生观察发现：大三角形是一个等腰直角三角形，两个底角都是45°，即三个扇形的圆心角分别是90°、45°、45°，圆心角之和正好是180°，而180°的角是一个平角。由于三个扇形的半径也相等，因此正好可以拼成一个半圆。通过变换构图，就可以将问题转化为“求半径是5厘米的半圆（图3）面积”，问题就可以迎刃而解。
三、依托数形结合，加深知识理解
数形结合是一种重要的数学思想方法，其实质在于通过数和形的对应与转换，使抽象的数学描述与直观的几何图形巧妙地结合在一起。
如教学1+2+3+4+…+n，由于“在n趋于正无穷时，其和没有极限，题值为无穷大”这知识点对于小学生来说十分深奥，理解起来比较困难。因此，笔者通过化繁为简，借助边长是1的小正方形开始研究前四个数相加情况。先摆放从1到4的小正方形个数让学生观察，然后将其置于边长是4的大正方形中，借助图形，学生不难看出求从1到4的和，其实是可以转化为求这叠加图形的面积。为了便于进一步观察，笔者有意识地添加上一条对角线（图4），引导学生继续观察对角线的斜下方和斜上方两个阴影部分的面积。学生发现：斜下方是一个大三角形，面积正好是整个大正方形面积的一半，即×4×4;斜上方则是4个小正方形面积的一半，即×4，因此得出：1+2+3+4=×4×4+×4=×4×（4+1）。结果出来后，笔者没有就此打住，而是继续出示1+2+3+4+5+6与1+2+3+4+5+6+7+8+9的图例（图略），引导学生观察这两幅图中对角线的斜下方和斜上方两个阴影部分的面积各是怎么计算的。利用知识迁移，学生顺利写出了答案。笔者最后追问：“如果不看图，继续写更多连续自然数的和，你能知道结果等于多少吗？你能说说它的图是什么样的吗？”通过对多组数列的探究，学生自然就能得出1+2+3+…+n=n（n+1）這个较为抽象的结论了。
四、巧借信息技术，助推思维发展
教师可适时借助信息技术模拟问题情境，化抽象语句为直观可视的几何动画，帮助学生打开思路，优化课堂教学。
如人教版五下“真分数和假分数”的教学，教师除了可以利用图形来表示具体的分数之外，还可借助数轴来研究分数，依托信息技术，使图形所表示的分数与数轴上的点之间建立起联系。教学中，教师可将若干个相同的圆都平均分成4份，每份用分数表示都是，每添加这样的1份，分子相应加1，而分母不变;这样的1份、2份、3份、4份……用分数表示分别是 ……这些都能在数轴上找到相对应的点（图5）。在这一一对应中，学生获得明晰的表象信息，从而进一步理解、掌握分数的意义，感受分数的连续性以及分子、分母之间的内在关系，为深入学习真分数与假分数的有关知识做了很好的铺垫。
又如，在教学“长方体的体积”时，有这样一道习题：从一个长32 cm的大长方体上，切下一个长8 cm、体积120 cm■3的小长方体，求原来大长方体的体积。可以利用几何直观形象呈现问题（图6），有了图示，学生不仅厘清了解题思路，还找到了不同的解题方法。
通过观察，学生不难看出切割前后长方体的侧面积保持不变，从而懂得解题关键是先求出这个长方体的侧面积，然后再用侧面积乘对应的长就能求出原长方体的体积了。当教师继续借助多媒体技术对示意图进行进一步的动态切割（图7），学生茅塞顿开：原来整个长方体的长与切下长方体的长成倍数关系。由此可知这两个长方体的体积也成倍数关系，于是就有了第三种解法，即：120×4=480（cm3）。
（作者单位：福建省福州市钱塘小学屏北分校）