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摘 要：排列、组合，说它难吧，其实挺简单的，就是分析事件的逻辑步骤，然后用分步乘法计数原理、分步加法计数原理计算就可。说简单吧，排列、组合却是同学们最没把握的事情，同样难度的几道题，做顺了，三下五除二，几分钟内解决问题;做不顺，则如一团乱麻，很长时间也理不顺思路。下面谈谈破解常见排列、组合模型的常用方法！
关键词：排列 组合 计数原理
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑。
例1 将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai（i=1，2，...，6），若a1≠5，a1
解析 由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
第一步，可以先排a1a3a5只有5种方法;第二步，再排a2a4a6有a3种方法。
由分步乘法计数原理得，不同的排列方法有5A=30（种）答案 30
二、相邻问题——捆绑法
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
解析 先将两位老人排在一起有种排法，再将5名志愿者中的2名安排在两端有种排法，最后将2位老人视为一个元素，与剩下3名志愿者组成4个元素全排列，有种排法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有（种） 答案 B
三、不相邻问题——插空法
某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
例3 高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是（ ）
A.1800 B.3600 C.4320 D.5040
解析 先排4個音乐节目和1个曲艺节目有种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有种放法。所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有（种） 答案 B
四、至多至少问题———间接法
对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数。
例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种。（用数字作答）
解析 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有种，故共有（种）选法。 答案 36
五、“隔板法”在计数问题中的妙用
“隔板法”在计数问题中有特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决，下面剖析一下隔板法的适用条件，并选择几个实例来加以说明。
隔板法的适用条件
排列组合中的相同小球放进不同的盒子，名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中（
），每个对象至少有一个元素。这类问题必须满足三个条件：（1）小球必须相同;（2）盒子必须不同;（3）每个盒子至少有一个小球。当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法。
隔板法的实际应用
应用1 20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？
解 如图，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000在上图中，在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有=171（种）放法。
点评 解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可。
应用2 求方程的正整数解有多少个？
解 该问题转化为：将方程左边的看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球。这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有（种）
整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论。
结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n-1个间隔中，选出m-1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数.
结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m-1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数。
小试身手：
将7个相同的小球放入4个不同的盒子中。
不出现空盒时的放入方式共有多少种？
可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：（1）将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有（种）
每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有（种）放入方式.
参考文献：
[1]林潘能.对排列组合应用问题的探究[J].读与写（教育教学刊），2019，16（07）：69.
关键词：排列 组合 计数原理
一、特殊元素——优先法
对于有特殊要求的元素的排列、组合问题，一般应对有特殊要求的元素优先考虑。
例1 将数字1，2，3，4，5，6排成一列，记第i个数为ai（i=1，2，...，6），若a1≠5，a1
解析 由题意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1
第一步，可以先排a1a3a5只有5种方法;第二步，再排a2a4a6有a3种方法。
由分步乘法计数原理得，不同的排列方法有5A=30（种）答案 30
二、相邻问题——捆绑法
把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。
例2 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有
A.1440种 B.960种 C.720种 D.480种
解析 先将两位老人排在一起有种排法，再将5名志愿者中的2名安排在两端有种排法，最后将2位老人视为一个元素，与剩下3名志愿者组成4个元素全排列，有种排法，由分步乘法计数原理可得，不同的排法有（种） 答案 B
三、不相邻问题——插空法
某些元素不能相邻或某些元素要在某个特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间。
例3 高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同的排法的种数是（ ）
A.1800 B.3600 C.4320 D.5040
解析 先排4個音乐节目和1个曲艺节目有种方法，这5个节目之间以及两端共有6个空位，从中选两个放入舞蹈节目，共有种放法。所以两个舞蹈节目不相邻的排法共有（种） 答案 B
四、至多至少问题———间接法
对于某些排列、组合问题的正面情况较复杂而反面情况较简单，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面情况的种数。
例4 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有________种。（用数字作答）
解析 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员共有种选法，其中甲、乙中有一人担任文娱委员的选法有种，故共有（种）选法。 答案 36
五、“隔板法”在计数问题中的妙用
“隔板法”在计数问题中有特殊的适用背景，并且“隔板法”往往会使很复杂的问题得到巧妙的解决，下面剖析一下隔板法的适用条件，并选择几个实例来加以说明。
隔板法的适用条件
排列组合中的相同小球放进不同的盒子，名额分配或相同物品的分配等问题，是排列组合中的难点问题，这类问题的基本模型是：将n个相同元素分组到m个不同对象中（
），每个对象至少有一个元素。这类问题必须满足三个条件：（1）小球必须相同;（2）盒子必须不同;（3）每个盒子至少有一个小球。当满足这三个条件时，我们可以采用隔板法。
隔板法的实际应用
应用1 20个相同的小球放入编号为1号、2号、3号的三个盒子里，要求每个盒子都不空，问有多少种放法？
解 如图，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000在上图中，在0与0之间的19个空档中插入2块隔板即可将小球分成3组，同时能够保证每组中至少有一个小球，所以一共有=171（种）放法。
点评 解决此类问题的关键是，看题目情景是否满足隔板法的条件，若满足，则直接套用公式即可。
应用2 求方程的正整数解有多少个？
解 该问题转化为：将方程左边的看成是4个盒子得到的小球数，右边的20看成是20个相同的小球。这样就相当于20个相同的小球放入4个盒子里，要求每个盒子至少有一个小球，共有多少种不同的分配方法？这样，类似应用1可知，所以共有（种）
整体概括：通过对隔板法的应用，可得下列结论。
结论1：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，每组不允许落空，则可将n个元素排成一排，从n-1个间隔中，选出m-1个插上隔板，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数.
结论2：把n个相同的元素分成m组分配给m个人，某些组允许落空，则可将m-1个隔板和n个元素排成一排，每一种隔板的插法对应一种分配方法，则分配方法数。
小试身手：
将7个相同的小球放入4个不同的盒子中。
不出现空盒时的放入方式共有多少种？
可出现空盒时的放入方式共有多少种？
解：（1）将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空格中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则不同的放入方式共有（种）
每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有（种）放入方式.
参考文献：
[1]林潘能.对排列组合应用问题的探究[J].读与写（教育教学刊），2019，16（07）：69.