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摘要：好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学。常见的教学现象是：只通过一道例题的教学，在学生没有操作经历，缺少丰富体验，即没有实质参与的情况下，结论便已经被总结出来了。这样过早地形式化只会导致学生以模仿学习为主。作为数学教师，处理例题的专业方法应该是呈现丰富的学习素材，而不是只讲一个例子；并且通过提炼核心问题，引领学生实现深层次的参与，即不仅是行为参与，而且有情绪参与和认知参与。
关键词：学习素材 深层参与 教学诊断 “9加几”
学生是学习的主体，学生能否主动地参与到学习活动中是主体性发挥的重要标志。根据研究，情绪参与、认知参与、行为参与是参与的三个不同维度。情绪参与既涉及学习活动中的情感体验，也包含对学习目的、信念的整体反应；认知参与体现了学习策略，学习的过程究竟是量的重复还是质的变化主要取决于认知参与的经驗；行为参与是基本的参与形态，积极的方面体现在努力、钻研和参与讨论。
学生在学习过程中能否实现深层参与，很关键的因素是教师是否营造了适合学生从事数学活动的时空。数年前的一次教师培训中，特级教师刘延革邀请了20位数学教师扮演学生，按照4人一组进行了分组。然后，她依次给各个小组发放学习材料袋。当她发到第三小组时，回头看到第一小组的学员已经打开了材料袋，第二小组的学员正在打开材料袋，于是故作生气地对第一小组的学员说道：“让你们打开了吗？谁同意你们打开的？”看到学员面面相觑时，她莞尔一笑：“咱们平时是不是也常对学生这么说？”刘老师特意安排这个环节，旨在让教师换位体验学生的学习需求以及自己不合理的教学行为。这个场景十分生动地阐释了苏霍姆林斯基的观点：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者，而在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”所以，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学：提出好的数学问题，营造适合学生深层参与的学习场域，真正使学生成为学习的主人，让学生在主动探究的过程中，通过自己的思考，建立起自己的数学理解。
下面从一位教师的教学案例出发展开分析，做出改进。
一、案例描述
Y老师执教苏教版小学数学一年级上册“9加几”的片段如下——
师 （出示教材例题，如图1）看图算一算9+4等于多少，说一说你是怎么想的。
生 9+4=13。可以把外面的一个苹果移到盒子里，正好是10个；外面还有3个，合起来是13个。
师 是啊，从外面移1个苹果到盒子里，就是把4分成1和3。那么为什么要移进去1个苹果？
生 盒子里原来有9个苹果，移1个进来就是10个了。
师 就是把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13。这种方法叫作“凑十法”。哪位同学来说一说“凑十法”是怎样计算9+4的？
（学生回答。）
师 同桌互相说一说用“凑十法”怎样计算9+4的。
（学生交流。）
师 你会用“凑十法”完成书上的填空吗？
（学生练习。）
Y老师认为，她的教学体现了课改的精神：独立思考、自主探究、合作交流。从课后学生计算的正确率来看，她的教学达到了预定的教学目标。
二、案例分析
回顾上述教学过程，我们还是要问一个问题：教学的指向究竟是什么？不难看出，上述教学过程偏向知识学习，在学生发展的关注上仍然偏弱。知识学习是学生发展的重要组成，但是学生的发展不能囿于知识学习。
Y老师是工作五年的青年教师，学校的骨干教师。她对本节课的教学设计，反映了众多一线教师的教学实际：只通过一道例题的教学，在学生没有操作经历，缺少丰富体验，即没有实质参与的情况下，结论便已经被总结出来了。这样过早地形式化只会导致学生以模仿学习为主。由于缺少丰富的学习素材，学生难以积累足够的数学活动经验，更不会自觉地对学习过程进行观察比较，从而达到反思提升的程度。根据孔企平的研究，单纯的行为参与不能促进学生高层次数学思维的发展，而教学过程中的全面参与才是学生高层次数学思维能力发展的基本条件。
来自美国加州橙县的杰克老师在我区上过一节交流课：“速度”。杰克准备了很多不同材质的球，有纸质的、木质的、橡胶的、铁质的以及吹好的气球，并且在地面上铺好了卷尺。课上，他请全班每位学生依次上台选择一个球滚动，同时请其他学生负责看卷尺记录滚动的距离，而自己负责用秒表记录滚动的时间，并让每位学生自主选择记录10个球滚动的情况。活动结束后，他请学生用计算器计算距离除以时间的商，告诉学生这就是那个球滚动的速度。接下来，他请学生讨论：你认为物体运动的速度与什么有关？学生发现：物体运动的速度与材质的轻重、表面的光滑程度、抛时用力的大小以及地面的光滑程度等有关。紧接着，他布置了新的讨论话题：如果要测量纸火箭（只能直线飞行的纸飞机）的速度，你需要哪些工具？你打算怎样测量？学生讨论后，他让学生上台领取工具，然后到学校操场上开展相应的测量活动。
课后，我们组织听课教师讨论。大家都表示自己的课堂不能按照杰克老师的方式来开展，因为准备工作太复杂，每个学生都进行操作效率不高，而且没有相应的练习可能导致考试时学生不会做题。我又问了一个问题：如果你的孩子学习“速度”，你会让他在你的课堂中学习，还是把他送到杰克老师的课堂中去呢？大家都毫不犹豫地表示：送到杰克老师的课堂中去。这充分表明，我们关于“速度”的教学是典型的纸上谈兵，导致学生只会做题，不会测量；杰克老师关于“速度”的教学才是真的让学生学习“速度”。正如李士锜教授指出的：“从数学认知的角度看，操作构成了自反抽象的直接基础，从而这种操作缺少了，后面的反省就无法落实。”
同样，Y教师的教学导致大部分学生只能采用机械接受的方式进行练习，会让学生做对，乃至做熟，但很难让学生“生巧”。所以，如何让学生从不自觉的学习状态向更为自觉的学习状态转变，就成为数学教学研究的一个紧要问题。 三、教学改进
作为数学教师，处理例题的专业方法应该是呈现丰富的学习素材，而不是只讲一个例子；并且通过提炼核心问题，引领学生实现深层次的参与，即不仅是行为参与，而且有情绪参与和认知参与。这实际上体现了辩证唯物主义观中“量变引发质变”的观点。下面是改进后的教学片段——
（教师发给学生一些小圆片和一个印有十个方格的卡片。）
师 （出示图2）小猴先买了9个苹果，又买来4个苹果。你能用小圆片在十格图上摆一摆吗？你能提出一个用加法解决的问题吗？
生 小猴一共买来多少个苹果？
师 要求一共买来多少个苹果，算式怎么列？
生 9+4。
师 你能根据刚才摆的小圆片算出9加4的结果吗？
生 盒子里已经有9个了，接着就是10、11、12、13。
生 我看图就算出9+4=13了。
生 我把外面的苹果移1个到盒子里，就是10个苹果；外面还有3个苹果，10+3=13。
师 三位同学都算出了9加4的结果是13。（问最后一位学生）你为什么会想到移1个苹果到盒子里？
生 移1个到盒子里，盒子里正好是10个。
师 说得有道理。全班同学都来用这种方法试一试。（出示图3）9加6的结果是多少呢？你是怎样算的？
生 从外面移1个苹果到盒子里，就是10个苹果；外面还有5个，合起来是15个。
师 （课件演示计算过程）是这样的吗？同学们，移1个苹果到盒子里好算吗？为什么？
生 移1个到盒子里，就正好是10个；外面还有5个，合起来就是15个。
师 （出示图4）9加8的结果是多少呢？和同桌说说你的想法。
生 从外面移1个到盒子里，就正好是10个；加上外面还剩的7个，就是17个。
师 （出示图5）3加9怎样计算呢？
生 从3个中移1个到盒子里，就正好凑成10个；外面还有2个，合起来就是12个。
師 （出示图6）刚才我们算了4题，都是9加几。你觉得计算9加几有什么好方法？和同桌说说你的想法。
生 可以从外面移1个到盒子里，正好凑成10个；再看外面剩几个，就是十几。
师 （课件演示）为什么要移1个到盒子里？
生 这样可以凑成一个好算的10。
师 是的，先凑成一个10，后面就容易算了。我们把这种方法叫作“凑十法”。（板书“9+5”）9加5等于几，你能算出结果吗？同桌互相说说。
生 9+5=14。从5里移1个到盒子里，盒子里就凑成一个10；外面还有4个，就是14。
师 （边说边板书计算过程）从5里移1个，就是把5分成1和4；9和1凑成10，10加4等于14。
师 （板书“9+7”）9加7怎么算呢，你能像刚才这样和同桌说说计算过程吗？
……
改进后的教学，教师将教材例题“9+4”丰富为有层次的多个学习素材。学习素材的丰富避免了由一道例题的教学就总结出结论，为学生营造了从事数学活动的时空，给所有学生提供了操作、实践、表述、交流等参与的机会，满足了学生自主探究的需求，便于学生积累经验，获得感悟，进而抽象归纳出计算方法。在反复操练的过程中，学生不断地体验“凑十”计算的合理性，并进一步萌发“凑十”计算的需要，而不再是模仿性地“凑十”操作。教师提炼的核心问题“为什么要移1个到盒子里”则不断地促使学生将感性操作上升到理性思考的水平，认识到“移”的过程实际上是“凑十”的过程，从而逐渐将“盒子”的直观工具性提升到“凑十”的算法规则水平。
学生的数学学习需要主动参与，需要通过实际演算或头脑中的操作来完成，从而建构自己的理解；即便是看别人做，也必须在思想上投入，并转化为自己的操作过程，这无人可以替代。在教学过程中，教师要丰富学习素材，鼓励学生用自己的方法解释所学的内容，而不是简单地模仿；要提炼核心问题，引导学生对学习过程进行比较，促进学生反思。
关键词：学习素材 深层参与 教学诊断 “9加几”
学生是学习的主体，学生能否主动地参与到学习活动中是主体性发挥的重要标志。根据研究，情绪参与、认知参与、行为参与是参与的三个不同维度。情绪参与既涉及学习活动中的情感体验，也包含对学习目的、信念的整体反应；认知参与体现了学习策略，学习的过程究竟是量的重复还是质的变化主要取决于认知参与的经驗；行为参与是基本的参与形态，积极的方面体现在努力、钻研和参与讨论。
学生在学习过程中能否实现深层参与，很关键的因素是教师是否营造了适合学生从事数学活动的时空。数年前的一次教师培训中，特级教师刘延革邀请了20位数学教师扮演学生，按照4人一组进行了分组。然后，她依次给各个小组发放学习材料袋。当她发到第三小组时，回头看到第一小组的学员已经打开了材料袋，第二小组的学员正在打开材料袋，于是故作生气地对第一小组的学员说道：“让你们打开了吗？谁同意你们打开的？”看到学员面面相觑时，她莞尔一笑：“咱们平时是不是也常对学生这么说？”刘老师特意安排这个环节，旨在让教师换位体验学生的学习需求以及自己不合理的教学行为。这个场景十分生动地阐释了苏霍姆林斯基的观点：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者，而在儿童的精神世界里，这种需要特别强烈。”所以，好的教师不是在教数学，而是能激发学生自己去学数学：提出好的数学问题，营造适合学生深层参与的学习场域，真正使学生成为学习的主人，让学生在主动探究的过程中，通过自己的思考，建立起自己的数学理解。
下面从一位教师的教学案例出发展开分析，做出改进。
一、案例描述
Y老师执教苏教版小学数学一年级上册“9加几”的片段如下——
师 （出示教材例题，如图1）看图算一算9+4等于多少，说一说你是怎么想的。
生 9+4=13。可以把外面的一个苹果移到盒子里，正好是10个；外面还有3个，合起来是13个。
师 是啊，从外面移1个苹果到盒子里，就是把4分成1和3。那么为什么要移进去1个苹果？
生 盒子里原来有9个苹果，移1个进来就是10个了。
师 就是把4分成1和3，先算9+1=10，再算10+3=13。这种方法叫作“凑十法”。哪位同学来说一说“凑十法”是怎样计算9+4的？
（学生回答。）
师 同桌互相说一说用“凑十法”怎样计算9+4的。
（学生交流。）
师 你会用“凑十法”完成书上的填空吗？
（学生练习。）
Y老师认为，她的教学体现了课改的精神：独立思考、自主探究、合作交流。从课后学生计算的正确率来看，她的教学达到了预定的教学目标。
二、案例分析
回顾上述教学过程，我们还是要问一个问题：教学的指向究竟是什么？不难看出，上述教学过程偏向知识学习，在学生发展的关注上仍然偏弱。知识学习是学生发展的重要组成，但是学生的发展不能囿于知识学习。
Y老师是工作五年的青年教师，学校的骨干教师。她对本节课的教学设计，反映了众多一线教师的教学实际：只通过一道例题的教学，在学生没有操作经历，缺少丰富体验，即没有实质参与的情况下，结论便已经被总结出来了。这样过早地形式化只会导致学生以模仿学习为主。由于缺少丰富的学习素材，学生难以积累足够的数学活动经验，更不会自觉地对学习过程进行观察比较，从而达到反思提升的程度。根据孔企平的研究，单纯的行为参与不能促进学生高层次数学思维的发展，而教学过程中的全面参与才是学生高层次数学思维能力发展的基本条件。
来自美国加州橙县的杰克老师在我区上过一节交流课：“速度”。杰克准备了很多不同材质的球，有纸质的、木质的、橡胶的、铁质的以及吹好的气球，并且在地面上铺好了卷尺。课上，他请全班每位学生依次上台选择一个球滚动，同时请其他学生负责看卷尺记录滚动的距离，而自己负责用秒表记录滚动的时间，并让每位学生自主选择记录10个球滚动的情况。活动结束后，他请学生用计算器计算距离除以时间的商，告诉学生这就是那个球滚动的速度。接下来，他请学生讨论：你认为物体运动的速度与什么有关？学生发现：物体运动的速度与材质的轻重、表面的光滑程度、抛时用力的大小以及地面的光滑程度等有关。紧接着，他布置了新的讨论话题：如果要测量纸火箭（只能直线飞行的纸飞机）的速度，你需要哪些工具？你打算怎样测量？学生讨论后，他让学生上台领取工具，然后到学校操场上开展相应的测量活动。
课后，我们组织听课教师讨论。大家都表示自己的课堂不能按照杰克老师的方式来开展，因为准备工作太复杂，每个学生都进行操作效率不高，而且没有相应的练习可能导致考试时学生不会做题。我又问了一个问题：如果你的孩子学习“速度”，你会让他在你的课堂中学习，还是把他送到杰克老师的课堂中去呢？大家都毫不犹豫地表示：送到杰克老师的课堂中去。这充分表明，我们关于“速度”的教学是典型的纸上谈兵，导致学生只会做题，不会测量；杰克老师关于“速度”的教学才是真的让学生学习“速度”。正如李士锜教授指出的：“从数学认知的角度看，操作构成了自反抽象的直接基础，从而这种操作缺少了，后面的反省就无法落实。”
同样，Y教师的教学导致大部分学生只能采用机械接受的方式进行练习，会让学生做对，乃至做熟，但很难让学生“生巧”。所以，如何让学生从不自觉的学习状态向更为自觉的学习状态转变，就成为数学教学研究的一个紧要问题。 三、教学改进
作为数学教师，处理例题的专业方法应该是呈现丰富的学习素材，而不是只讲一个例子；并且通过提炼核心问题，引领学生实现深层次的参与，即不仅是行为参与，而且有情绪参与和认知参与。这实际上体现了辩证唯物主义观中“量变引发质变”的观点。下面是改进后的教学片段——
（教师发给学生一些小圆片和一个印有十个方格的卡片。）
师 （出示图2）小猴先买了9个苹果，又买来4个苹果。你能用小圆片在十格图上摆一摆吗？你能提出一个用加法解决的问题吗？
生 小猴一共买来多少个苹果？
师 要求一共买来多少个苹果，算式怎么列？
生 9+4。
师 你能根据刚才摆的小圆片算出9加4的结果吗？
生 盒子里已经有9个了，接着就是10、11、12、13。
生 我看图就算出9+4=13了。
生 我把外面的苹果移1个到盒子里，就是10个苹果；外面还有3个苹果，10+3=13。
师 三位同学都算出了9加4的结果是13。（问最后一位学生）你为什么会想到移1个苹果到盒子里？
生 移1个到盒子里，盒子里正好是10个。
师 说得有道理。全班同学都来用这种方法试一试。（出示图3）9加6的结果是多少呢？你是怎样算的？
生 从外面移1个苹果到盒子里，就是10个苹果；外面还有5个，合起来是15个。
师 （课件演示计算过程）是这样的吗？同学们，移1个苹果到盒子里好算吗？为什么？
生 移1个到盒子里，就正好是10个；外面还有5个，合起来就是15个。
师 （出示图4）9加8的结果是多少呢？和同桌说说你的想法。
生 从外面移1个到盒子里，就正好是10个；加上外面还剩的7个，就是17个。
师 （出示图5）3加9怎样计算呢？
生 从3个中移1个到盒子里，就正好凑成10个；外面还有2个，合起来就是12个。
師 （出示图6）刚才我们算了4题，都是9加几。你觉得计算9加几有什么好方法？和同桌说说你的想法。
生 可以从外面移1个到盒子里，正好凑成10个；再看外面剩几个，就是十几。
师 （课件演示）为什么要移1个到盒子里？
生 这样可以凑成一个好算的10。
师 是的，先凑成一个10，后面就容易算了。我们把这种方法叫作“凑十法”。（板书“9+5”）9加5等于几，你能算出结果吗？同桌互相说说。
生 9+5=14。从5里移1个到盒子里，盒子里就凑成一个10；外面还有4个，就是14。
师 （边说边板书计算过程）从5里移1个，就是把5分成1和4；9和1凑成10，10加4等于14。
师 （板书“9+7”）9加7怎么算呢，你能像刚才这样和同桌说说计算过程吗？
……
改进后的教学，教师将教材例题“9+4”丰富为有层次的多个学习素材。学习素材的丰富避免了由一道例题的教学就总结出结论，为学生营造了从事数学活动的时空，给所有学生提供了操作、实践、表述、交流等参与的机会，满足了学生自主探究的需求，便于学生积累经验，获得感悟，进而抽象归纳出计算方法。在反复操练的过程中，学生不断地体验“凑十”计算的合理性，并进一步萌发“凑十”计算的需要，而不再是模仿性地“凑十”操作。教师提炼的核心问题“为什么要移1个到盒子里”则不断地促使学生将感性操作上升到理性思考的水平，认识到“移”的过程实际上是“凑十”的过程，从而逐渐将“盒子”的直观工具性提升到“凑十”的算法规则水平。
学生的数学学习需要主动参与，需要通过实际演算或头脑中的操作来完成，从而建构自己的理解；即便是看别人做，也必须在思想上投入，并转化为自己的操作过程，这无人可以替代。在教学过程中，教师要丰富学习素材，鼓励学生用自己的方法解释所学的内容，而不是简单地模仿；要提炼核心问题，引导学生对学习过程进行比较，促进学生反思。